4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично

Для знаходження похідної функції, заданої неявно рівнянням , достатньо про диференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи як складену функцію від а потім зі здобутого рівняння знайти похідну .

Приклад 4.2. Знайти похідну функції , задану неявно рівнянням

Розв’язання

; ;

; .

Отже,

Відповідь.

Функція може бути задана параметрично у вигляді

де - параметр.

Нехай функції і диференційовані в деякому околі точки і для всіх з цього околу. Тоді

Приклад 4.3. Знайти похідну функції, заданої параметрично:

Розв’язання

Використаємо формулу

Відповідь.

4.1.6. Похідні вищих порядків

Похідною другого порядку функції в точці називається похідна від функції (похідна від похідної першого порядку цієї функції), тобто

Позначення похідної другого порядку:

Приклад 4.4. Знайти похідну другого порядку функції

Розв’язання

Відповідь.

Похідною п-го порядку функцій називається похідна функції (похідна від похідної (н-1)-го порядку), тобто

Позначення похідної го порядку:

Приклад 4.5. Знайти похідну 3-го порядку функції

Розв’язання

4.2. Диференціал функції однієї змінної

4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст

Нехай функція диференційована на відрізку

За означенням похідної функції в точці

Оскільки то де - нескінчена мала величина

Маємо:

Величину (при ) називають диференціалом функції і позначають або .

Диференціалом функції в точці називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу:

або

Диференціал функції

що відповідає значенню і , є

приростом ординати дотичної до

графіка функції в точці РИС. 22.

4.2.2. Диференціали вищих порядків

Диференціалом 2-го порядку функції в точці називається вираз (диференціал від диференціала 1-го порядку функції в цій точці)

Диференціалом п-го порядку функції в точці називається вираз (диференціал від диференціала (н-1)-го порядку функції в цій точці)

Приклад 4.6. Знайти диференціал 3-го порядку функції

Розв’язання

Диференціал 3-го порядку функції знайдемо за формулою

.

Отже,

Відповідь.

4.2.3. Правила знаходження диференціала

1. Диференціал суми двох диференційованих функцій і дорівнює сумі диференціалів цих функцій:

2. Диференціал добутку двох диференційованих функцій і визначається за формулою

3. Диференціал частки двох диференційованих функцій і визначається за формулою

4. Диференціал складеної функції

Нехай тобто

Тоді

4.2.4. Застосування диференціала до наближених обчислень

У наближених обчисленнях використовується рівність

Приклад 4.7. Обчислити наближено

Розв’язання

Використаємо рівність

, .

Отже,

Відповідь.

4.3. Основні теореми диференціального числення.

Дослідження функцій та побудова їх графіків

4.3.1. Правило Лопіталя

Нехай функції і

1. диференційовані в деякому околі точки і в цьому околі

2. одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці ;

1. існує границя відношення похідних цих функцій

Тоді існує границя відношення цих функцій причому

або

Приклад 4.8. За правилом Лопіталя знайти

Розв’язання

Відповідь.