4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції

Асимптотою кривої називають пряму (або криву) лінію, до якої необмежено наближається графік функції, але не перетинає її. Асимптоти бувають горизонтальні, вертикальні і похилі.

1. Вертикальні асимптоти. Якщо функція має в точці розрив другого роду й існує хоча б одна із нескінчених односторонніх границь функції в точці то пряму називають вертикальною асимптотою кривої .

2. Похилі асимптоти. Нехай функція визначена в інтервалі або в інтервалі

Пряму називатимемо похилою асимптотою кривої , якщо виконується умова:

Теорема. Крива тоді і тільки тоді має асимптоту коли існують скінчені границі

3. Горизонтальні асимптоти. Якщо в похилій асимптоті функція маємо , то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції: .

Для того, щоб пряма була горизонтальною асимптотою функції необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя

Приклад 4.11. Знайти асимптоти функції

Розв’язання

1. Знайдемо одну із односторонніх границь функції в точці

- точка розриву другого роду заданої функції.

Отже, - вертикальна асимптота.

2. Знайдемо похилу асимптоту використавши формули

Оскільки то - горизонтальна асимптота.

4.3.8. Загальна схема дослідження функції

Перший етап (використання властивостей заданої функції)

Область визначення функції
Парність, непарність і періодичність	- парна, якщо симетрична відносно початку координат; - непарна якщо симетрична відносно початку координат - періодична, якщо
3. Точки перетину графіка з осями координат	а) з віссю : з рівняння знаходять , б) з віссю знаходять значення
4. Точки розриву. Асимптоти графіка функції	Вертикальні асимптоти – у точках нескінченного розриву 2-го роду функції Похилі асимптоти де

Другий етап (використання похідної першого порядку)

5. Знайти похідну та критичні точки функції	або не існує
6. Проміжки зростання, спадання	- зростання, спадає
7. Точки екстремуму функції	Якщо змінює знак при переході через з «+» на «-«, то якщо з «-« на «+», то

Третій етап (використання похідної другого порядку)

8. Знайти другу похідну та критичні точки другого роду	або не існує
9. Проміжки опуклості, угнутості	- функція угнута, - опукла
10. Точки перегину і значення функції в цих точках	якщо змінює знак при переході через то - точка перегину

Приклад 4.12. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання

1. Область визначення

2.

Функція ні парна, ні непарна. Неперіодична.

3. Перетин ;

з , або

4. Проміжки зростання, спадання та точки екстремуму:

- критичні точки

РИС.31.

Функція зростає при спадає при

6. Асимптоти:

Отже - вертикальна асимптота.

Знайдемо похилу асимптоту

Маємо, - похила асимптота

7. Проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції:

Оскільки то

знак другої похідної

може змінюватися лише

в точці

РИС.32

РИС.33

Функція опукла при угнута при

Точок перегину немає.

х	-6	-2
у	-33	7