Необхідна умова екстремуму

Точка є точкою екстремуму функції якщо похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує.

- точка екстремуму

Достатня умова екстремуму.

Якщо функція неперервна в точці і похідна функції змінює знак в цій точці, то - точка екстремуму функції

у точці знак змінюється з «+» на «-

- точка максимуму

у точці знак змінюється з «-« на «+»

- точка мінімуму

Алгоритм дослідження функції на зростання (спадання) та екстремуми.

1. Знайти область визначення та інтервали, на яких функція неперервна.

2. Знайти похідну

3. Знайти критичні точки:

а)

б) не існує.

4. Позначити критичні точки на області визначення функції, розбити цими точками область визначення на інтервали. Знайти знак похідної на кожному інтервалі.

5. Знайти проміжки зростання та проміжки спадання .

6. Визначити точки екстремуму і . Знайти і

Приклад 4.9. Дослідити функцію на зростання (спадання) та екстремуми.

Розв’язання

.

1. 2)

3.

4. РИС. 27.

5. зростає при спадає при

6.

4.3.5. Опуклість, угнутість кривих та точки перегину функції

Крива називається опуклою на інтервалі , якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Крива називається угнутою на інтервалі , якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі.

РИС. 28 РИС.29

Точка кривої називається точкою її перегину, якщо вона відділяє її опуклу частину від угнутої.

Достатні умови опуклості на угнутості функції

Якщо в кожній точці інтервалу

то на інтервалі графік функції направлено (опуклість) вниз.

Якщо в кожній точці інтервалу

то на інтервалі графік функції напрямлено опуклістю вгору.

Необхідна умова існування точки перегину

У точках перегину функції її друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Достатня умова існування точки перегину

Якщо функція має першу і другу похідну на інтервалі і її друга похідна змінює знак при переході через точки то точка є точкою перегину функції .

у точці змінює знак

- точка перегину функції

А лгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину

1. Знайти область визначення і інтервали, на яких функція неперервна.

2. Знайти другу похідну .

3. Знайти внутрішні точки області визначення, в яких або не існує.

4. Позначити одержані точки на області визначення, знайти знак другої похідної функції на кожному інтервалі, на які розвивається область визначення.

5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали опуклості, угнутості і точки перегину).

Приклад 4.10. Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції

Розв’язання

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.

1.

2.

3. РИС. 30

4. Графік функції опуклий при угнутий при

5. Точки перегину: і

4.3.6. Найбільше і найменше значення функції,

неперервної на відрізку

Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень

функції, неперервної на відрізку

1. Знайти похідну

2. Знайти критичні точки: а) б) не існує.

3. Вибрати критичні точки, які належать цьому відрізку.

4. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка.

5. Вибрати з них найменше і найбільше.

Приклад 4.10. Знайти найбільше та найменше значення функції при .

Розв’язання

1.

2.

3.

4.

5.

Відповідь.