4.4. Економічні приклади та задачі

4.4.1. Застосування похідної до задач економіки

Приклад 4.13. Залежність фінансових зборів К від обсягу продукції х виражається формулою При яких значеннях обсягу х фінансові збори почнуть зростати?

Розв’язання

Фінансові збори зростають, якщо

Отже коли обсяг продукції перевищує 100 грн., фінансові збори зростають.

Відповідь. При

Темп зростання функції

Якщо - задана функція, то швидкість її зміни визначається похідною .

Темпом зростання функції (відносною швидкістю) називається відношення

Наприклад, якщо то темп зростання функції становить 25%

Приклад 4.14. Обсяг виготовленої продукції за день описується рівнянням Обчислити продуктивність праці та швидкість її зміни через 3 години після початку роботи.

Розв’язання

Продуктивність праці

Швидкість зміни продуктивності

Якщо то

Відповідь.

Якщо функцію задаються витрати виробництва однорідної продукції обсягу х, то похідна дає граничні витрати виробництва продукції цього обсягу.

Приклад 4.15. Витрати виробництва залежно від обсягу продукції х задаються формулою Знайти граничні витрати, якщо обсяг складає 6 одиниць.

Розв’язання

Граничні витрати визначаються похідною від витрат виробництва

Отже, при обсязі шести одиниць продукції витрати для виготовлення наступної сьомої одиниці складають 89,7.

Відповідь 89,7.

4.4.2. Економічний зміст похідної. Еластичність

Еластичністю функції (позначається або називається границя приросту функції до відносного приросту аргументу х при умові тобто

Отже,

Еластичність функції показує наближено на скільки відсотків зміниться функція у разі зміни незалежної змінної х на 1%.

Приклад 4.16. Знайти еластичність функції якщо х=6.

Розв’язання

Використаємо формулу

Якщо х=6, то

Відповідь. 1,5%.

4.4.3. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор

Найпростіша модель, яка описує динаміку зростання прибутку залежно від інвестицій: У=С+І, де У – прибуток, С – споживання, І – інвестиції.

Нехай У=У(І), С=С(У). Як впливає зміна інвестицій на прибуток?

Вираз

називається мультиплікатором.

Мультиплікатор – це числовий коефіцієнт, який показує у скільки разів сума приросту або скорочення прибутку перевищує початкову суму інвестицій.

У розглядуваній моделі маємо: якщо то

Отже, додаткові інвестиції посилюватимуть прибуток.