3.8.2. Передаточные функции

При исследовании АСР широко используются прикладные математи­ческие методы операционного исчисления, существенно облегчающие задачу исследования сложных систем регулирования. В частности, в теории автома­тического регулирования используют преобразование функции веществен­ного переменного (времени) в функцию комплексного перемен­ного, называемого преобразованием Лапласа.

Преобразованием функции-оригинала x(t) называется функция x(p) комплексного переменное p = a + j ω, определяемая интегралом Лапласа

∞

x(p) = ∫ x(t)∙ e^{-p∙ t} dt . (3.24)

0

Символически преобразования Лапласа изображается следующим образом L[x(t)]= x (p).

Применение преобразования Лапласа превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что упрощает дальнейшее решение задач по описанию и расчету систем регулирования.

Для упрощения пользования преобразованием Лапласа составлены таблицы преобразований наиболее часто встречающихся функций и определены основные свойства преобразований Лапласа.

Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (3.23) при нулевых начальных условиях (при t = 0, x (t) = 0, x'(t) = 0 и т.д.), получим уравнение, записанное в операторном виде,

(a_ор ⁿ + a₁p ^n-1 + … + a_n-1p + a_n) x_вых(p) =

= (b₀p ^m + b₁p ^m-1 + … + b_m-1p + b_m) x_вх(p). (3.25)

На основе уравнения (3.25) получается выражение для передаточной функции:

W (p)=	хвых(р)	=	b0p m + b1p m-1 + … + bm-1p + bm	=	В(р)	. (3.26)
	хвх(р)		aор n + a1p n-1 + … + an-1p + an		А(р)

Таким образом, передаточной функцией W(p) называется отношение преобразований Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины, найденных при нулевых начальных условиях.

Для быстрого определения W(p) по виду исходного дифференциального уравнения (3.23) существует формальное правило: необходимо предварительно заменить все производные на p в соответствующей степени, а затем разделить правую часть уравнения на левую. Например, d² x/dt² заменяют на p², dx/dt на p, х на 1 и т.д.

3.8.3. Временные характеристики

Временной характеристикой, кривой разгона, называется зависимость изменения выходной величины во времени, полученная при ступенчатом изменении выходной величины. При единичном входном воздействии характеристика называется переходной, и в этом случае ее обозначают h(t). Из выражения (3.26) можно записать х_вых(р) = W(р)·х_вх(р). Учитывая, что преобразование Лапласа для единичного входного воздействия [х_вх(t) = 1] будет L[1] = х_вх(Р) = ¹/_Р, то переходная функция в операторном виде запишется так: х_вых(Р) = W(Р)/Р.

Для обратного преобразования Лапласа в целях определения переходной функции можно воспользоваться формулой Хевисайда:

h(t) =		+	n		∙ е ркt	(3.27)
	A(0)		∑	А(рк)
	B(0)			рк ∙ В' (рк)
			k=1

где р_к – корни уравнения А(р) = 0.