1.5 Решетчатые функции
Введем понятие
решетчатой функции времени
или в сокращенной записи
,
значения которой определены в дискретные
моменты времени
,
где
– целое число,
– период повторения.
при
.
Если в относительных
единицах, то
.
Ординаты решетчатой
функции – это дискреты в моменты времени
.
Дискреты
могут быть определены для смещенных
моментов времени
,
где
– относительное смещение.
Рис. 1.22
Действия, производимые со смещенными решетчатыми функциями, выполняются по тем же правилам, что и для несмещенных. Поэтому далее будем рассматривать несмещенные решетчатые функции.
При
,
решетчатая функция превращается в
непрерывную.
Любая числовая последовательность некоторой величины может быть представлена решетчатой функцией.
Обратная задача (формирование непрерывной функции из решетчатой) не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций.
Непрерывные функции, совпадающие с заданными решетчатыми называются огибающими решетчатой функции.
Основная огибающая – непрерывная функция, совпадающая с заданными дискретами, которая может быть получена как результат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими огибающими.
Рис. 1.21
Здесь 3 - ступенчатая функция соответствует экстраполятору нулевого порядка.
Пример.
,
.
Записать выражение для .
Пример.
,
.
Записать выражение для .
.
1.6 Разности и суммы решетчатых функций
Над решетчатыми функциями применяются операции дифференцирования и интегрирования.
Рис. 1.22
Аналогом первой
производной непрерывной функции для
решетчатой функции является первая
прямая разность:
или обратная:
.
Аналог производной второго порядка – разность второго порядка (2-ая разность):
Для разности
порядка К:
.
Аналогом интеграла непрерывной функции от 0 до t для решетчатой функции является сумма решетчатых функций:
.
Операция суммирования - обратная операция по отношению к разности.
Определим разность для суммы
Пример.
-
решетчатая функция.
Найти сумму этой функции.
2. Математическое описание амплитудно-импульсной системы
2.1 Разностные уравнения
По аналогии с линейными непрерывными системами, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами для импульсных систем применимы разностные уравнения (или уравнения в конечных разностях).
В общем виде:
.
Для реальных
физически реализуемых систем порядок
разности
.
Разности решетчатой функции могут быть выражены через значения самой решетчатой функции, аргументы которой сдвинуты вдоль оси на некоторое число тактов, в этом случае получают другую форму записи уравнений
Такую
форму записи называют рекуррентным
уравнением или разностным уравнением
в рекуррентной форме. Порядок разностного
уравнения определяется величиной
выходной решетчатой функции в рекуррентном
уравнении.
Рассмотрим пример.
Перепишем это уравнение в рекуррентной форме.
.
Таким образом, порядок уравнения определяется по рекуррентной форме и равен максимальному сдвигу.