Операторная форма записи разностных уравнений.

Введем обозначения:

- оператор разности,

Z – оператор смещения решетчатой функции на один такт.

,

.

Связь операторов и Е.

,

отсюда или .

Пример. Преобразуем уравнение в рекуррентную форму.

.

Отсюда или

Тогда .

2.2 Решение разностных уравнений

Так же как и в случае дифференциальных уравнений, решение разностного уравнения ищется в виде суммы двух составляющих:

1) общее решение однородного разностного уравнения;

2) частное решение неоднородного уравнения с правой частью.

Для разностного уравнения так же существует понятие характеристического уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где (k = 1,2,…, ) – корни характеристического уравнения.

Исходное уравнение:

- характеристическое уравнение.

– произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Частное решение неоднородного уравнения.

Если в правой части уравнения стоит константа, то решение ищется в виде постоянной.

Если в правой части уравнения полином относительно , то и решение ищется в виде полинома того же порядка.

Пример.

. Отсюда .

Подставим в исходное уравнение частное решение

Отсюда или .

, тогда .

, тогда .

.

Отсюда .

.

2.3 Z-преобразование амплитудно-импульсной системы

Z-преобразование. Математическое описание и анализ импульсной системы с амплитудной модуляцией существенно упрощаются, если все сигналы в системе (как в импульсной, так и в непрерыв­ной части) рассматривать только в дискретные моменты времени t = 0T; 1T; 2Т; . . . ; IT; . . . ; . При этом каждый непрерывный сигнал удобно представлять в виде решетчатой функции времени значения которой определены только для дискретных моментов времени:

Между дискретными значениями аргумента t функция равна нулю.

Непрерывная функция является огибающей для решетча­той функции , и каждому конкретному сигналу соответст­вует вполне определенный сигнал .

При замене реальных непрерывных сигналов решетчатыми функциями часто удобнее переходить к относительному времени , т. е. измерять время числом периодов квантования Т. В этом случае относительный период , а решетчатая функция обозначается .

Последовательность неединичных импульсов, образующих ре­шетчатую функцию на интервале 0 < iT < , можно представить в виде бесконечного ряда

(2.1)

где — смещенная дельта-функция, существующая только в моменты времени и равная нулю при всех других значе­ниях t.

Применим к сумме (2.1) преобразование Лапласа, учитывая при этом, что изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений, а также, что согласно теореме запаздывания изображение смещенной дельта-функции равно . Тогда изображение решетчатой функции (2.1) по Лапласу:

(2.2)

Выражение (2.2) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно содержит трансцендентный сомножитель , из-за которого изображения и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными функциями аргумента р, что создает определенные трудности при их использовании. Поэтому с целью получения передаточных функций импульсных систем в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным систе­мам, целесообразна замена аргументов и тогда вместо (2.2) получают более удобное для практического использования преобразование, называемое z-преобразованием решетчатой функции (или дискрет­ной последовательности) .

(2.3)

Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функ­ций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам. В табл. 2.1 приведены z-изображения лишь для функций времени, используемых далее в примерах.

Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения (2.3) указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:

1) чтобы по известной функции времени найти ее z-изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение умножить на , а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;

2) чтобы по известному изображению найти соответст­вующий сигнал , необходимо представить изображение в виде степенного ряда по убывающим степеням , получаю­щиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения сигнала .

Таблица 2.1 z-изображения простейших функций времени

X(t) (t>=0)	X(iT)	X(p)	X(z)
1(t) t	iT	1 1/p	1 z/z-1

Обратное -преобразование

Интегрирование ведется по окружности радиуса r, внутри которой лежат все полюсы .

Проиллюстрируем эти правила на простых функциях.

Пример. Найдем z-изображение единичной ступенчатой функции . Соответствующая ей последовательность идеальных импульсов

, i = 0;1;2;3;…