В соответствии с правилом 1 изображение

(2.4)

Сумма бесконечного ряда (2.4) можно записать в компактной форме

,

что и приведено в таблице 2.1.

Пример. Найдем функцию времени , изображение которой

(2. 5)

Делением числителя на знаменатель выражение (2.5) можно представить в виде ряда

В соответствии с правилом 2 значение решетчатой функции

; ; ; …

или

.

Откуда нетрудно установить, что

.

Полученное соответствие также приведено в таблице 2.1.

2.4 Основные свойства z-преобразования

Свойства z-изображения аналогичны свойствам обычного преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них.

1. Линейность.

Изображение линейной комбинации решетчатых функций равно такой же линейной комбинации их изображений.

.

2. Смещение аргумента в области оригинала

где k - целое число тактов.

.

3. Смещение аргумента в области изображений

,

.

Умножение оригинала на приводит к смещению аргумента в изображении на .

4. Свертка в области оригиналов

.

5. Теорема о начальном значении оригинала:

,

6. Теория о конечном значении аргумента:

.

7. Изображение разностей

.

8. Изображение суммы

.

Перейдем к описанию передаточных свойств разомкнутых и замкнутых импульсных систем. Как и для обычных систем непре­рывного действия, для импульсных систем наиболее удобно исполь­зовать структурный метод и передаточные функции.

2.5 Характеристики типовой импульсной цепи

Введем понятие типовой импульсной цепи, в которую входит идеальный импульсный элемент («ключ») и непрерывная часть с пере­даточной функцией (рис. 2.1). Рассмотрим динамику этой цепи, ее входной и выходной сигналы только в дискретные моменты времени (для чего на выходе цепи показан фиктивный квантова­тель, работающий синхронно с входным квантователем). Тогда передаточные свойства импульсной цепи можно характеризовать с помощью дискретной передаточной функции (д.п.ф.)

(2.6)

где и — z-изображение входного и выходного сигналов цепи.

Д.п.ф. импульсной цепи связана с весовой функцией непрерывной части z-преобразованием:

. (2.7)

Непрерывная часть цепи задана обычно в виде передаточной функции , поэтому для отыскания функции необходимо предварительно находить весовую функцию .

Так как в таблицах соответствия изображения по Лапласу и 2-изображения обычно указываются рядом, то функцию можно определить сразу по виду функции . Этому непосредст­венному переходу от к соответствует условная запись

(2.8)

Если в типовой цепи после «ключа» стоит фиксатор, то д.п.ф. всей цепи может быть определена по формуле:

(2.9)

где — передаточная функция непрерывной части (не вклю­чающей фиксатор).

Рис. 2.1 Типичный участок импульсной системы

Пример. Найдем д.п.ф. цепи, состоящей из “ключа” и инерционного звена первого порядка (без фиксатора на его входе)

.

Весовая функция звена

или

Согласно таблице 2.1 д.п.ф. цепи:

Изложенные приемы математического описания импульсных си­стем с помощью z-изображений и соответствующих им разностных уравнений удобно использовать для цифрового модели­рования чисто непрерывных систем на ЭВМ. Но если для цифрового моделирования используются точные д.п.ф. полученные по формуле (2.7) или по таблицам соответст­вия, то необходимо предварительно, перед переходом к разност­ному уравнению, найти д.п.ф. , устанавливающую связь между огибающими входной и выходной дискретных после­довательностей:

.

Множителем Т компенсируется ослабление сигналов, которое вносится реально квантователем в импульсной системе (и которое отсутствует в моделируемой непрерывной системе!).

Любую д.п.ф., или , в общем случае можно пред­ставить в виде отношения полиномов переменной z:

(2.10)

или

(2.11)

Передаточной функции (2.11) соответствует операторное уравнение динамики импульсной цепи в z-форме:

по которому легко получить разностное уравнение импульсной цепи или моделируемой непрерывной системы:

(2.12)

Разностные уравнения вида (2.12) обладают важным преиму­ществом перед обыкновенными дифференциальными уравнениями: разрешенные относительно они уже в самой своей записи содержат алгоритм решения, который легко программируется на ЦВМ. Кроме того, разностные уравнения можно также представ­лять в виде сигнальных диаграмм состояния, удобных для модели­рования. Основным операционным элементом дискретной диаграммы состояния вместо аналогового интегратора является элемент задержки .

Пример. Определим точную д.п.ф. импульсной цепи, состоящей из “ключа”, фиксатора и идеального интегратора:

.

Согласно (2.9) и таблице 2.1 точная д.п.ф.:

(2.13)