3.3 Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста для импульсных систем формулируется так же, как и для непрерывных систем: система устойчива, если АФХ W( ) устойчивого разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j0).

Характеристики устойчивой импульсной системы и неустойчивой системы, находящейся на границе устойчивости, показаны штриховыми линиями на рис. 3.2, б.

Устойчивость разомкнутого контура импульсной системы определяется устойчивостью её непрерывной части: если последняя устойчива, то и весь контур (включая импульсный элемент) устойчив.

Следует иметь в виду, что, хотя импульсный элемент не влияет на устойчивость разомкнутого контура, он существенно влияет на устойчивость и качество замкнутой системы. При малых периодах повторения частотная характеристика разомкнутого контура совпадает с частотной характеристикой непрерывной части, и устойчивость импульсной системы полностью определяется свойствами непрерывной части. По мере увеличения периода повторения у большинства систем уменьшается предельный передаточный коэффициент и ухудшаются динамические свойства. Однако на некоторые структурно-неустойчивые непрерывные системы и на системы с запаздыванием, АФХ которых заходит в правую полуплоскость, импульсный элемент оказывает стабилизирующее действие. Для таких систем рекомендуется период повторения выбирать из условия

,

– частота, при которой АФХ непрерывной части пересекает положительную мнимую ось Q( ).

а) б)

Рис. 3.2 Критерий Михайлова (а) и Найквиста (б) для импульсной системы

Пример. Найти модуль АФХ импульсной системы, состоящей из ИЭ, генерирующего короткие прямоугольные импульсы относительной длительности и непрерывной части .

Передаточная функция формирователя

.

Для того, чтобы получить воспользуемся z-преобразованием.

подставим вместо

Пример. Определим с помощью критерия Гурвица предельное значение передаточного коэффициента импульсной системы, рассмотренной в разделе 2.5.

Характеристическое уравнение системы

После подстановки (3.5) уравнение принимает вид

и для него условие устойчивости Гурвица заключается, как известно, в положительности коэффициентов, т.е.

и

отсюда допустимые пределы измерения передаточного коэффициента 0<k<2T.

4. Качество импульсных систем

4.1 Оценка качества импульсных систем

Качество импульсных систем управления характеризуется такими же показателями, как и качество непрерывных систем:

- точностью в установившихся режимах;

- длительностью и перерегулированием переходного процесса.

Длительность и перерегулирование оценивают непосредственно по переходной характеристике. Переходная характеристика импульсной системы строится гораздо проще, чем для непрерывной системы. Для этого записывают z-изображение выходной величины при единичном ступенчатом воздействии

.

А затем по изображению находят оригинал – решетчатую функцию .

В простых случаях функцию можно найти при помощи таблиц обратного z-преобразования, разложив предварительно изображение на простые дроби.

В тех случаях, когда разложение на дроби связано с трудностями, целесообразно разложить функцию в степенной ряд по отрицательным степеням z (делением числителя на знаменатель):

(4.1)

Из определения z-преобразования вытекает, что коэффициенты степенного ряда (4.1) по степеням пред­ставляют собой значения переходной характеристики в дискретные моменты времени , т. е.

; ; ; … ; …

Импульсные системы обладают специфической осо­бенностью: переходные процессы в них могут заканчиваться за конечное число периодов Т, равное порядку системы п. Усло­вием получения конечной длительности переходного процесса яв­ляется равенство всех (кроме первого) коэффициентов характери­стического уравнения нулю, т. е.

; (4.2)

При этом характеристический полином системы имеет вид

а изображение выходной величины оказывается конечным рядом отрицательных степеней z:

,

что соответствует переходному процессу с конечной длительностью .

При любом другом соотношении коэффициентов длительность переходного процесса больше nT. Поэтому процесс с конечной дли­тельностью будет оптимальным по быстродействию.

Выполнение условия (4.2) достигается, как правило, введе­нием в контур системы непрерывных и импульсных корректирую­щих устройств.

Так же как и в непрерывных системах, качество переходных процессов в импульсных системах может оцениваться различными показателями. Это

• время переходного процесса,

• перерегулирование,

• интегральные оценки качества.

Для оценки качества можно построить переходную функцию и по ней определить качество.

Приближенную оценку можно получить на основе нулей и полюсов передаточной функции, не решая разностное уравнение и не определяя .

Если в передаточной функции нулей нет, то качество полностью определяется полюсами передаточной функции, т.е. корнями характеристического уравнения.

Характер переходного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения, модули всех корней должны быть < 1.

Проанализируем вид переходного процесса в импульсной САУ в зависимости от вида корней.