10.1. Виды задач с позиций теории величин

Анализ структур школьных задач, проведенный нами с позиций теории величин, позволил нам разделить все составные задачи на два больших класса в зависимости от того, сколько разных мерок используется в задаче для измерения какой-либо величины. В структуре любой задачи есть общее: во всех условиях даны величины, то есть такие свойства предметов, которые могут быть присущи предмету в разной степени; все эти величины являются аддитивно-скалярными, то есть для любой из этих величин выполняется следующее свойство: величина целого равна сумме величин его частей. И для характеристики ее требуется лишь измерение по одной шкале. Кроме того, во всех условиях даются числовые характеристики этих величин, то есть результат их измерения по некоторой шкале. С этих позиций математические задачи можно разделить на два типа. К первому типу отнесем такие задачи, в которых все величины измеряются только по одной шкале (выбирается одна «мерка» для измерения).

Пример. Задача. «Вера списала 18 словарных слов, а Дима 6 слов. Во сколько раз больше списала Вера, чем Дима?»¹³

Условие задачи: «Вера списала 18 словарных слов, а Дима списал 6 словарных слов». Вопрос задачи: «Во сколько раз больше слов списала Вера, чем Дима?» В условии задачи описывается величина «количество слов, выписанных детьми»: даются ее числовые характеристики. Количество слов, выписанных Верой – 18, а количество слов, выписанных Димой – 6. В вопросе задачи требуется найти кратное отношение данных числовых характеристик: во сколько раз больше слов списала Вера, чем Дима?

Эти задачи обычно не представляют трудностей для изучения, поскольку не требуют перевода результата измерения по одной шкале в измерение по другой шкале.

Второй тип задач – это задачи, в которых даются результаты измерения величин по разным шкалам (то есть выбираются разные мерки для измерения одной и той же величины).

Например, дана задача. Длина отрезка 5 см или 10 клеточек. Найдите, сколько клеточек в одном сантиметре.

В этой задаче длина отрезка выражена в разных мерках, то есть, даны разные числовые характеристики величины: 5см и 10 клеточек. Нужно найти кратное соотношение между сантиметром и клеточкой.

Пример. За 1 час пешеход проходит 5 км. Сколько километров он пройдет за 3 часа?

В этой задаче дано значение величины, выраженное в часах: путь, пройденный за 3 часа – значение величины пути, выраженное в часах, кроме того, дано соотношение между мерками (за 1 час – 5 км). Требуется найти, как будет выражен путь, пройденный за 3 часа, в километрах.

Решение: 5∙3 = 15(км).

Приведенные задачи являются простыми, решаются в одно действие. Но и в составных задачах также даются числовые характеристики или числовые соотношения между величинами, причем, одно или несколько из этих данных неизвестны, их нужно найти, пользуясь известными.

Таких задач в школьном курсе математики очень много. Задачи на дроби, задачи на проценты, на совместную работу, на смеси и т.д. Эти задачи представляют часто большие трудности для школьников, так как в них требуется найти соотношения

между различными мерками. Поэтому они представляют наибольший интерес для нашего исследования.

Таким образом, для успешного обучения школьников общему способу решения задач целесообразно разделить их на два вида. Для каждого из них имеется общий алгоритм рассуждений при поиске пути решения.