10.3. Обучение общему способу решения задач

Для того чтобы ученики усвоили обобщенный способ решения задач, целесообразно предложить детям комплекс специальных упражнений.

Комплекс упражнений по формированию общего способа решения задач
Первый блок. Упражнения подготовительного характера	Учебная задача - формирование понятия о величине и ее измерении.	упражнения по осознанию существенных признаков понятия величины; упражнения по формированию общего алгоритма измерения величин; упражнения по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины.
Второй блок. Основной	Учебная задача - формирование общего способа решения математических задач	упражнения по осознанию взаимосвязи между разными мерками одной величины; упражнения по осознанию общности структуры задач разного вида; упражнения по формированию общего способа решения задач в целом.

Комплекс включает два блока. Учебной задачей первого блока является формирование понятия о величине и ее измерении. В него входят упражнения следующих видов: упражнения по осознанию существенных признаков понятия величины, упражнения по формированию общего алгоритма измерения величин, упражнения по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины. Учебной задачей второго блока является формирование общего способа решения математических задач. Этот блок включает в себя упражнения по осознанию взаимосвязи между разными мерками одной величины и упражнения по осознанию общности структуры задач разного вида и упражнения по формированию общего способа решения задач в целом.

Приведем примеры упражнений каждого вида.

Упражнения по осознанию существенных признаков понятия величины

1) Выберите из следующих слов величины: зелёный, деревянный, высокий, прозрачный, круглый, крутой, узкий. Ответ объясни.

2) Расскажите, что нарисовано на картинке, пользуясь словами: длиннее – короче, шире – уже, выше – ниже, ближе – дальше:

1.

уже - шире

2 .

длиннее - короче

3 .

выше - ниже

4. Ближе - дальше

3) По каким величинам можно сравнить полоски:

Упражнения по осознанию общего алгоритма измерения величин

1) Измерьте длины сторон прямоугольников:

2) Подчеркните названия единиц длины:

М, ч, км, г, см, дм, т, мм.

3) Начертите отрезок длиной 6см. Выбери мерку длиной 2см и измерь ею отрезок. Найди длину отрезка в выбранных мерках двумя способами.

Упражнения по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины

1)Площадь фигуры Катя измерила в таких единицах:

, а Таня в таких: .

У Кати получается результат: 6, у Тани 12. Почему получилось разные результаты? Сколько раз укладывается Танина мерка в Катиной?

2) Длина шага папы 1м, а длина шага Вовы 70см. Чей шаг длиннее? На сколько шаг папы длиннее шага Вовы?

3) Дима бросил мяч на 8м 45см, Витя – на 85дм, а Андрей 8м 4дм. Кто из мальчиков бросил мяч дальше?

4) Длина красной проволоки 2м 4дм, длина синей – 25дм. Какая проволока длиннее и на сколько?

5) Закончите запись:

2035кг = … ц… кг; 5ч =… мин;

6м 4дм = … см; 2нед =… сут.;

6405кг = …т… кг; 100мин = …ч…мин

6) Определи:

Во сколько раз 1ц больше 1кг?

Чему равна половина часа?

Во сколько раз 1м меньше 1км?

Упражнение на выделение условия и вопроса

задачи:

1) Даны величины:

цена количество стоимость

ٱ ٱ ?

Составьте задачу с этими величинами. Составь задачу, обратную данной.

2) Поставьте вопрос к задаче.

« ٱ мешков весят ٱ кг»

3) Подберите условие к вопросу.

«Сколько стоит один шкаф?»

4) Задачи с недостающими данными:

«Коля купил 4 ручки. Сколько денег он заплатил?»

«Сколько весит один мешок картофеля, если купили 5 таких мешков?»

«Скорость автомашины 60 кг/ч. До обеда она проехала 300 км, после обеда она ехала с такой же скоростью. Сколько всего часов проехала автомашина?»

5) Задачи с лишними данными:

«Маша купила 5 пирожков с картофелем и заплатила за них 15 рублей. Сколько денег заплатила Маша за 10 таких же пирожков, если цена одного пирожка 3 рубля?» Составьте из этой задачи две и реши их.

Упражнения на выделение величин и установление связи между ними:

1) «В магазине осталось 5 ящиков с яблоками и 7 ящиков с апельсинами. Ящики с апельсинами весят 50 кг. При каком условии все ящики с апельсинами будут весить меньше всех ящиков с яблоками?»

«Маша купила ٱ кг яблок и ٱкг груш. За яблоки она заплатила ٱ рублей, причем цена 1 кг яблок равна цене 1 кг груш. При каком условии Маша купит больше кг груш, чем яблок?»

3. «Коля купил 5 тетрадей и 3 карандаша. Одна тетрадь стоит 4 рубля, столько стоит и один карандаш. Сколько денег Коля заплатил за покупку?

4. Составьте таблицу и реши по ней задачу, используя величины: «масса одного предмета», «количество предметов» и «общая масса».

5)Составьте таблицу, используя величины – цена, количество, стоимость, если задача решается так: (36:12)∙ 4

6) Составьте задачу по выражению:

13 м ∙ 2, 36ч : 12, 69: (20+3) 3,

7)«Цена блокнота и линейки одинаковая. За 4 линейки Вася заплатил 12 рублей. Сколько Вася купил блокнотов на 36 рублей, если цена одной линейки 3 рубля?» Используя эти данные реши задачу в одно действие, а затем в два действия.

8) Семь кукол стоят 63 рубля. Сколько стоят 15 таких же кукол? Измените условия задачи так, чтобы она решалась одним действием.

9) «Сколько стоят 5 булочек, если 3 таких же булочки стоят 9 рублей?»

- Допустим, что стоимость увеличилась в два раза.

Как изменится ответ задачи?

10) «Три килограмма колбасы стоят 27 рублей. Какое количество колбасы можно купить на 81 рубль?»

Как изменить условие задачи, чтобы количество колбасы уменьшилось в 3 раза? И наоборот, чтобы увеличилось в 3 раза?

11) Велосипедист ехал до обеда 3 часа, и после обеда 4 часа и проехал всего 70 км. Сколько километров велосипедист проехал до обеда и после обеда, если его скорость была постоянной?».

После решения задачи целесообразно предложить ученикам следующие вопросы:

• Сколько бы километров проехал велосипедист, если бы до обеда он ехал 2 часа?

• Какое бы расстояние проехал велосипедист, если бы после обеда он ехал 6 часов?

• Как изменится результат, если его скорость увеличится на 3 км/ч?

• Как изменить условие задачи, чтобы расстояние, которое проехал велосипедист до обеда, равнялось расстоянию, которое он проехал после обеда? и т. д.

Упражнения по осознанию общности структуры

задач разного вида

1) Заполните пропуски:

Ч тобы найти , нужно ________ разделить на

Чтобы узнать , нужно у множить на _________.

2) Составьте задачу, заменив геометрические фигуры числами, и решите ее.

Цена	Количество	Стоимость
1 ? Одинаковая 2	▲ ■	♦ ?

Замените данные в задаче величины величинами «масса 1 ведра», «количество вёдер», «общая масса», решите получившуюся задачу. Почему числовое значение ответа не изменилось?

Упражнения по формированию общего способа решения задач в целом

Рассмотрим примеры разбора задач с помощью общего алгоритма.

Пусть нам дана такая задача:

«Из 35 м ситца сшили 7 сарафанов. Сколько метров ситца потребуется, чтобы сшить 12 таких сарафанов?»

В этой задаче ситец измеряется в двух разных мерках: в сарафанах и метрах. Даны числовые характеристики количества ткани в метрах: 7сарафанов – это те сарафаны, которые сшили, и12 сарафанов, которые надо сшить. Требуется найти количество ткани, которая необходима для пошива сарафанов.

1. Что измеряется в задаче? (количество ткани)

2. В чем измеряется ткань? (в метрах и в сарафанах)

3. Какая мерка крупнее? (сарафаны)

Покажем это на отрезках.

Раз сарафанов больше, то и ткани на них потребуется больше, поэтому второй отрезок чертим длиннее.

35м

?м

Можно составить и таблицу.

Расход ткани на 1с	Кол – во сарафанов	Общий расход
одинаковый	7шт. 12 шт.	35м ?м

Сначала необходимо найти, сколько ткани потребуется на один сарафан (соотношение между мерками)

35: 7 = 5 (м)

Зная, соотношение между крупной и мелкой мерками, мы можем найти количество мелких мерок.

5∙12 = 60 (м)

Ответ: 60 метров.

Рассмотрим следующую задачу: «У фермера в хозяйстве 5 лошадей и 40 коров. Для них на зиму фермер заготовил 120 ц сена. Каждой лошади на зиму надо 8 ц сена. Сколько сена достанется на зиму каждой корове, если кормить их одинаково?»

- Что измеряется в этой задаче? (сено)

- В чем измеряется сено? (в коровах, лошадях и центнерах)

- Какие из этих мерок крупнее? (коровы и лошади)

Покажем это схематически.

Лошадей – 5 Коров - 40

8ц ?ц

120ц

Возможно составление таблицы:

Расход на 1 животного	Количество животных	Общий расход
Л. 8 ц К. ?	5 40	? 120 ц ?

Решение.

1. Зная, что на одну лошадь надо 8 ц сена, а всего 5 лошадей, узнаем, сколько сена необходимо для 5 лошадей.

(данное первой колонки умножим на данное второй колонки)

8 ∙ 5 = 40 (ц).

2. Зная, что всего заготовлено 120 ц сена, и из них 40ц необходимо для лошадей, узнаем, сколько центнеров сена остается для коров.

120 – 40 = 80 (ц)

3. Зная, сколько сена останется для коров и сколько всего коров, узнаем, сколько сена достанется каждой корове (данное третьей колонки разделим на данное второй колонки)

80: 40 = 2 (ц)

Ответ: 2 центнера.

Рассмотрим задачу.

« Какое расстояние пройдет теплоход, если будет плыть 6 ч со скоростью 24 км/ч?

В этой задаче две разные мерки: часы и километры.

Дано: соотношение между мерками (скорость теплохода) - 24 км/ч, количество крупных мерок (время, за которое теплоход преодолевает некоторое расстояние) - 6ч.

Требуется найти количество мелких мерок (расстояние, которое пройдет теплоход).

- Что измеряется в задаче? (расстояние)

- В чем измеряется расстояние? (в километрах и часах)

- Какая из этих мерок крупнее? (часы)

Составим таблицу.

U	t	S
24 км/ч	6ч	? км

Зная соотношение между крупной и мелкой мерками и количество крупных мерок, мы можем найти количество мелких мерок.

24 ∙ 6 = 144 (км)

Ответ: 144 км.

Задача. Начертите отрезок длиной 10 см. Сколько сантиметров в 4/5 этого отрезка.

- Что измеряется в задаче? (отрезок)

- В каких мерках измеряется? (в см и долях)

- Какая из этих мерок крупнее? (см)

1. Начертим отрезок длиной 10 см.

2. Найдем сначала, сколько сантиметров в 1/5 этого, отрезка.

10 : 5 = 2(см)

3. Найдем, сколько сантиметров в 4/5 отрезка.

2 ∙ 4 = 8 (см)

Ответ: 8см.

Приведенные задачи показывают, что общий алгоритм разбора и поиска пути решения задач применим для многих задач школьного курса математики. При условии усвоения этого алгоритма ученики смогут находить решение новых для них типов задач. Поэтому целесообразно ознакомить их с таким способом разбора.

В настоящем методическом пособии приведены различные варианты методики обучения решению задач. Каким из них воспользоваться, решает только учитель. Однако при этом следует помнить, что важно реализовать все функции задач в учебном процессе. Это возможно лишь в случае владения учителем умением анализировать различные подходы к обучению решению задач с теоретико-математических и психолого-дидактических позиций.