7.2.Приемы обучения решению задач разными способами

1 .Составление соответствующей краткой записи.

Разные крат­кие записи способствуют выявлению разных ЛОУ.

Пример: От ленты длиной 15 м отрезали 2 куска: 3 м и 4м. Найти длину остатка.

- Прочитайте задачу, прочитайте только условие, только воп­рос. Какие слова возьмем для краткой записи? Что такое 15?

- Для краткой записи возьмем слово «было».

Было - 15 м

Отрезали - Зм и 4м

Осталось - ?

- Что надо знать, чтобы определить сколько осталось?

- Надо знать, сколько было и сколько отрезали.

- Что мы знаем?

- Сколько было.

- А как найдем, сколько отрезали?

- 1) 3+4=?(м)

2) 15-7=8 (м)

- Выполним другую краткую запись (схема)

2. Сообщение дополнительных данных, не влияющих на решение задачи.

Учитель может сообщить следующие дополнительные дан­ные: "Пусть сначала отрезали кусок 4 м, а потом 3 м. Что в этом случае можно узнать первым действием?" Здесь дополнительным данным будет являться порядок, в котором отрезали куски ленты.

3. Составление выражения по условию задачи и использование знаний свойств действий при наличии значений этого выражения (задача с лентой 15 м)

1) 15-(З+4)

Дети находят значение выражения.

- Что это за выражение? Прочитайте. Как можно вычесть сумму из числа? Запишите полученные выражения. Что узнаем, выполнив первое действие в выражении (15-3)-4?

В начальной школе существуют большие возможности обучения решению задач разными способами.

В учебниках учащимся предлагается большая группа задач, ко­торые можно назвать "задачи на свойство действий: прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление (вычитание) суммы из числа, умножение суммы на число, умножение произведения на число.

8. Задачи с пропорциональными величинами

Две величины называются ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ, если при неиз­менной третьей величине и при уменьшении (увеличении) в нес­колько раз, вторая тоже уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Две величины называются ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ, если при неизменной третьей величине и увеличении (уменьшении) одной ве­личины вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

В начальном курсе математики встречаются задачи со следующими пропорциональными величинами.

1-ая величина	2-ая величина	3-я величина
1 ,Цена 2.Масса 1 предмета 3.Емкость 1 предмета 4.Расход на 1 изделие 5.Норма выработки 6.Скорость	Количество Кол-во предметов Количество Кол-во изделий Время Время	Общая стоимость Общая масса Общая емкость Общий расход Общая выработка Расстояние

8.1. Типы задач с пропорциональными величинами

1.Простые задачи с пропорциональными величинами.

Примеры:

а) 0дна тетрадь стоит 2 рубля. Сколько стоит 5 таких тетрадей?

б) Пешеход прошел за 3 часа. 12 км. Найти скорость.

Виды простых задач с пропорциональными величинами

(Здесь и далее фигурками будут обозначаться известные числовые значения величин, а знаком вопроса – искомые значения).

	1-ая величина	2-ая величина	3-я величина
1	■	▲	?
2	?	▲	♦
3	■	?	♦

Все три вида задач являются взаимообратными.

Из всех типов задач с пропорциональными величинами эти виды задач являются наиболее простыми. Поэтому обучение решению задач начинается именно с них. Целью такого обучения выступает усвоение детьми связи между величинами (правил нахождения одной из тройки величин по двум другим).

2. Задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Такими задачами называются задачи, в которых одна из трех величин постоянна, два значения другой величины даны, а для третьей величины дано одно значение, а второе значение нужно найти.

Примеры:

а) В двух ящиках 18 кг яблок. Сколько яблок в трех таких ящиках?

б) Расстояние от города до деревни велосипедист преодолевает за 2 часа, а пешеход – за 6 часов. Какова скорость пешехода, если скорость велосипедиста 12 км/ч?

Виды задач на нахождение четвертого

пропорционального

	1-ая величина	2-ая величина	3-я величина
1	Одинаковая	■ ▲	♦ ?
2	Одинаковая	? ▲	♦ ●
3	? ■	Одинаковая	▲ ♦
4	● ■	Одинаковая	▲ ?
5	● ?	▲ ♦	Одинаковая
6	● ■	▲ ?	Одинаковая

Задачи на нахождение четвертого пропорционального более сложные, поскольку содержат две простые задачи и, следовательно, решаются в два действия.

Теоретически любая задача этого типа может быть решена с помощью двух теоретических фактов (двух способов выделения ЛОУ): на основе связи между величинами (1-ая величина находится делением 3-й на вторую, вторая – делением 3-й на первую, третья – умножением первой на вторую) и на основе пропорциональной зависимости между величинами.

Однако второй способ не всегда применим для решения в начальных классах, поскольку данные значения величины не всегда делятся нацело друг на друга. Например, задача а) может быть решена младшими школьниками так: (18:2)∙3 (Первым действием находят массу одного ящика делением общей массы на количество ящиков, вторым действием находят общую массу трех ящиков, умножая массу одного ящика на количество ящиков). В этой задаче использование прямой пропорциональности между количеством ящиков и общей массой затруднительно для детей, поскольку кратное отношение 3:2 не является целым числом. Задача б) решается двумя способами: 1-ый способ - (12∙2):6 (первым действием находится расстояние умножением скорости на время, вторым – скорость пешехода делением расстояния на время); 2-ой способ – 12: (6:2) (используется обратная пропорциональность между скоростью и временем при одинаковом расстоянии: во сколько раз больше времени затрачено пешеходом(6:2), во столько раз меньше его скорость).

При обучении решению задач на нахождение четвертого пропорционального используется общая методика обучения решению задач.

3. Задачи на пропорциональное деление (нахождение неизвестного по 2 суммам).

Задачами на пропорциональное деление называются задачи, в которых одна из трех величин постоянна, два значения другой величины даны, а для третьей величины ни одно значение не дано, но дана их сумма.

Для решения таких задач необходимо найти еще одну сумму, поэтому одно из названий этого типа задач - задачи на нахождение неизвестного по двум суммам.

Примеры:

а) Купили 6 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку по той же цене. За всю покупку заплатили 88 рублей. Сколько стоили тетради в клетку и тетради в линейку?

б) 20 л вишневого варенья разложили в одинаковое количество двух- и трехлитровых банок. Сколько варенья поместилось в двухлитровых банках и сколько в трехлитровых банках?

в) Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из города и поселка, расстояние между которыми 27 км. Один пешеход шел со скоростью 5 км/ч, а второй – со скоростью 4 км/ч. Найдите, какое расстояние прошел каждый из них до встречи.

Виды задач на пропорциональное деление

	1-ая величина	2-ая величина	3-я величина
1	Одинаковая	■ ▲	? ● ?
2	Одинаковая	? ▲ ?	♦ ●
3	? ■ ?	Одинаковая	▲ ♦
4	● ■	Одинаковая	? ▲ ?
5	? ■ ?	▲ ♦	Одинаковая
6	● ■	? ▲ ?	Одинаковая

Первые четыре вида – задачи, решаемые с использованием прямо пропорциональной зависимости между величинами, последние два вида – с использованием обратно пропорциональной зависимости.

Поиск пути решения задачи на пропорциональное деление имеет свою специфику. Поскольку для решения задачи этого типа необходимо найти еще одну сумму, следует направить учащихся на то, чтобы они выполнили это действие. Например, в задаче а) первым действием нужно найти, сколько всего тетрадей купили. Для этого целесообразно задать ученикам вопрос: «За какие тетради заплатили 88 рублей? Каким действием найти, сколько всего тетрадей купили?»

Краткую запись к задачам на пропорциональное деление иногда целесообразно составить в виде схемы. Например, к задаче а) можно составить следующую схему:

В клетку ___,___,___,___,___,___

88 р.

В линейку ___,___,___,___,___

На этой схеме отрезки одинаковой длины означают одинаковую цену тетрадей.

4. Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задачами на нахождение неизвестного по двум разностям называются задачи, в которых одна из трех величин постоянна, два значения другой величины даны, а для третьей величины ни одно значение не дано, но дана их разность.

Для решения таких задач необходимо найти вторую разность, отсюда и название этого типа задач.

Виды задач на нахождение неизвестного

по двум разностям

	1-ая величина	2-ая величина	3-я величина
1	Одинаковая	■ ▲	? ?, на ● больше
2	Одинаковая	? ?, на ▲больше	♦ ●
3	? ?, на ■ больше	Одинаковая	▲ ♦
4	● ■	Одинаковая	? ?, на ▲больше
5	? ?, на ■ больше	▲ ♦	Одинаковая
6	● ■	? ?, на ▲больше	Одинаковая

Примеры:

а) Купили 6 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку по той же цене. За тетради в клетку заплатили на 8 р. больше. Сколько стоили тетради в клетку и тетради в линейку?

б) Вишневое варенье разложили в одинаковое количество двух- и трехлитровых банок. В трехлитровые банки поместилось на 4 кг варенья больше, чем в двухлитровые. Сколько варенья поместилось в двухлитровых банках и сколько в трехлитровых банках?

Поиск пути решения задач данного типа тоже имеет свою специфику. Первым действием здесь необходимо найти разность. Для того чтобы ученики выполнили это действие, целесообразно задать им соответствующие вопросы. Например, в задаче а) в начале поиска пути решения можно задать такие вопросы: «Почему за тетради в клетку заплатили на 8 рублей больше? Как узнать, на сколько больше купили тетрадей в клетку?»

Краткую запись для задач на нахождение неизвестного по двум разностям тоже можно выполнить в виде схемы. Для задачи а) схема будет следующей:

В клетку ___,___,___,___,___,___

В линейку ___,___,___,___,___ 8р.

Рассмотренные типы задач с пропорциональными величинами расположены в порядке возрастания степени сложности. В традиционной методике обучения они предлагаются ученикам в этой же последовательности и изучаются отдельно друг от друга. Однако возможно рассмотреть их единым блоком, постоянно предлагая ученикам преобразовывать задачу одного типа в другой и сравнивая их решения.