3.3. Вибірковий метод

З усіх видів несусцільного спостереження в практиці статистичних досліджень найбільше визнання і застосування дістало вибіркове спостереження.

Сукупність методів математичної статистики, що застосовуються для обґрунтування та висновків при проведенні вибіркового спостереження, називають вибірковим методом.

Вибіркове спостереження - це такий вид несусцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що досліджується, а лише певним чином відібрана їх частина.

Сукупність, з якої вибирають елементи для обстеження, називають генеральною, а сукупність, яку відібрано для обстеження, - вибірковою (вибірка). Статистичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцінка відповідних характеристик генеральної сукупності.

Вибіркове дослідження широко застосовується для обстеження домогосподарств населення, його житлових умов, заробітної плати, цін на ринках, для вивчення і контролю якості продукції, громадської думки тощо. Науково організоване вибіркове спостереження має ряд суттєвих переваг перед сусцільним:

• економічність – при його проведенні забезпечується економія часу, матеріальних, групових і фінансових ресурсів;

• оперативність – дає змогу в короткі строки, і за більш широкою програмою робити відповідні висновки і кінцеві результати;

• точність – досягнення більшої точності результатів спостереження завдяки скороченню помилок реєстрації.

Вибірковий метод дозволяє через вивчення частини спеціально відібраних одиниць досліджуваної сукупності охарактеризувати масове явище в цілому. Теорія і практика вибіркового методу показує, що за правильної організації вибіркового спостереження воно дає достовірні відомості, цілком придатні для практичного використання.

Результати вибіркового спостереження характеризуються середніми і відносними узагальнюючими показниками. Узагальнюючі показники генеральної сукупності(середня, частка, дисперсія та ін.) називають генеральними, а відповідні узагальнюючі показники вибіркової сукупності – вибірковими.

В зв’язку з тим, що при вибірковому спостереженні обстежується тільки частина одиниць генеральної сукупності, то характеристики вибіркової сукупності, як правило, відрізняються від характеристик вибіркової сукупності. Різниця між узагальнюючими показниками вибіркової та генеральної сукупності називається помилкою вибірки (помилкою репрезентативності).

Одним із основних завдань вибіркового методу є отримання таких вибіркових характеристик, які б якомога точніше відтворювали характеристики генеральної сукупності, тобто давали найменші помилки репрезентативності.

В основу вибірки покладено принцип строгої випадковості, який забезпечує ії об’єктивність, дає можливість встановити межі можливих похибок і дістати майже достовірні дані для характеристики всієї сукупності явищ. Таку вибіркову сукупність називають представницькою або репрезентативною сукупністю. До цієї сукупності входять представники всіх груп генеральної сукупності.

Точність результатів вибіркового спостереження залежить від способу відбору одиниць, ступеня коливання досліджуваної ознаки в сукупності та від кількості відібраних одиниць. Об’єктивну гарантію репрезентативності отриманої вибірки дає використання відповідних науково обґрунтованих способів відбору одиниць вибіркової сукупності.

Вибірка елементів для вибіркового спостереження може бути повторною і безповторною.

Повторною називається вибірка, за якої кожна раніше відібрана одиниця повертається до генеральної сукупності і може повторно брати участь у вибірці. Цей спосіб відбору на практиці є обмеженим із-за недоцільності, а іноді й неможливості повторного обстеження.

Безповторною називається вибірка, коли один раз відібрані одиниці для обстеження не повертають знову в генеральну сукупність, і вони не беруть участі в подальших відборах (наприклад, розіграш лотереї, народження людини тощо). Цей спосіб відбору характеризується підвищеним ступенем точності, надійності вибірки і найчастіше використовується на практиці.

В статистичній практиці розрізняють наступні різновиди вибірки (вибіркового спостереження):

• Проста випадкова вибірка - за такого способу відбору всі одиниці генеральної сукупності мають однакову можливість потрапити в досліджувану вибіркову групу (сукупність); відбір одиниць здійснюють за допомогою жеребкування або таблиць випадкових чисел (наприклад, тираж виграшів грошово-речової лотереї: усі номери випущених лотерейних білетів кладуть в урну, ретельно їх перемішують і витягують із неї один наперед задану кількість виграшних номерів);

• Механічна (систематична) вибірка – це різновид простої випадкової вибірки, коли всі одиниці генеральної сукупності розміщують у певному порядку (за алфавітом, часом реалізації продукції, розміщенням у просторі та ін.), потім залежно від обсягу вибірки відбирають для дослідження кожну 2,3,4,5,10-ту і т.д. одиницю; цю вибірку широко застосовують для контролю якості продукції, відбору підприємств для дослідження тощо;

• Типова (районована) вибірка – досліджувану генеральну сукупність розбивають на однорідні групи, райони чи зони, потім із кожної групи випадково відбирають певну кількість одиниць пропорційно частці цієї групи в загальній сукупності; унаслідок чого вибірка стає достовірнішою і має переваги порівняно з попередніми;

• Середня (гніздова) вибірка – суть цієї вибірки полягає в тому, що із генеральної сукупності відбираються не окремі одиниці, а цілі групи (серії, гнізда) випадковим або механічним методом й у відібраних серіях обстежуються всі одиниці без винятку;

• Комбінована вибірка – це така вибірка, коли комбінують два або кілька видів вибірок (наприклад, можна комбінувати серійну вибірку з власне випадковою: у цьому разі спочатку розбивають генеральну сукупність на серії, а потім здійснюють випадковий відбір одиниць з кожної серії);

• Ступенева вибірка - це поєднання різних схем вибіркового методу, залежно від того, як змінюється одиниця відбору при послідовному проведенні кількох вибірок. Розрізняють одноступеневу (одноступінчату) і багатоступеневу (багатоступінчату) виборки. При одноступеневій вибірці кожна відібрана одиниця зразу ж підлягає вивченню. Так обстежують одиниці вибіркової сукупності при власне випадковій вибірці. Серійну вибірку можна розглядати як одноступеневу, де у випадково відібраних серіях генеральної сукупності проводять сусцільний опис усіх одиниць, що до них включено. При багатоступевій вибірці спочатку проводять відбір з генеральної сукупності окремих груп, а потім з відібраних груп формують вибірку другого, третього і т.д. порядку, яку й досліджують;

• Мала вибірка – це несусцільне статистичне спостереження, коли вибіркову сукупність утворено з порівняно невеликої кількості одиниць генеральної сукупності. Обсяг малої вибірки зазвичай не перевищує 30 одиниць і може сягати 4-5 одиниць (Див.: Захожай В.Б Статистика: Підруч. для студ. вищ.навч закл./В.Б. Захожай,І.І. Попов.-К.:МАУП, 2006, с 221-222);

• Моментне спостереження (метод моментних спостережень, моментний вибір) - суть методу полягає в тому, що на певні заздалегідь визначені моменти часу фіксують окремі елементи процесу досліджуваного явища. Цей вид спостереження застосовують при вивченні використання робочого часу робітниками або часу роботи устаткування. У кожний момент спостереження фіксують, чи перебував робітник (чи верстат) у стані роботи, якщо ні, то з яких причин. По закінченню спостереження дослідник встановлює частку відміток за кожним станом або видом витрат часу в загальному обсязі спостережень.

Всі види відбору (крім механічного) можуть бути повторними і без повторними. Механічний відбір завжди безповторний.

Застосування того чи іншого способу формування вибіркової сукупності залежить від мети вибіркового спостереження, можливостей його організації і проведення.

Вибіркова сукупність має пізнавальне значення, оскільки з певною ймовірністю дає уявлення про показники генеральної сукупності. Але, як уже зазначалося, при вибірковому спостереженні виникають помилки репрезентативності, які можуть бути систематичними і випадковими.

Систематичні помилки репрезентативності виникають внаслідок порушення принципів проведення вибіркового спостереження, вони мають тенденційний характер відхилення величини досліджуваної ознаки в бік ії збільшення або зменшення.

Випадкові помилки репрезентативності зумовлені тим, що вибіркова сукупність не відтворює точно середні і відносні показники генеральної сукупності.

При організації вибіркового обстеження важливо уникнути систематичних помилок, властиві вибірковому спостереженню випадкові помилки репрезентативності усунути неможливо. Завдання, полягає в тому, щоб максимально наблизити показники вибіркової сукупності до показників генеральної сукупності і знайти можливі межі відхилень цих показників, тобто найти помилку вибірки, використовуючи при цьому відповідні формули.

З цією метою обумовимо основні позначення статистичних характеристик, які будуть використовуватися при визначенні помилок вибіркового спостереження:

N - кількість одиниць генеральної сукупності;

n - кількість одиниць вибіркової сукупності;

– генеральна середня сукупності;

– вибіркова середня;

ρ - генеральна частка;

w – вибіркова частка;

δ² – дисперсія (середній квадрат відхилень у вибірці);

δ – середнє квадратичне відхилення;

µ - середня помилка вибірки;

t – коефіцієнт довіри;

∆ - гранична помилка вибірки.

Достовірність вибіркового спостереження забезпечується розрахунками його помилок для середньої величини і для частки (питомої ваги) ознаки, що вивчається. Помилка вибірки (репрезентативності) позначається символом «∆» (дельта) і є різницею між вибірковою середньою (часткою) і генеральною середньою (часткою):

∆X = - - помилка вибірки для середньої величини;

∆w = w - Р - помилка вибірки для частки.

Ці помилки складаються з помилок репрезентативності і помилок реєстрації. Величини помилок вибірки (репрезентативності) в основному залежать від обсягу вибірки (зі збільшенням числа досліджуваних одиниць результати вибірки все менше будуть відрізнятися від результатів генеральної сукупності), від варіації досліджуваної ознаки (чим більше варіює ознака, тим більше вибіркова середня чи частка відрізняється від генеральної середньої чи частки) і від способу і виду відбору вибіркової сукупності.

Оскільки основними показниками варіації ознаки є дисперсія (δ²) і середнє квадратичне відхилення (δ), то помилка вибірки перебуває у прямій залежності від величин цих показників.

Для узагальнюючої характеристики помилок виборки (репрезентативності) розраховують середню помилку виборки «µ», яку називають ще середньою квадратичною (стандартною) помилкою вибірки (табл. 3.5)

Таблиця 3.5 Середня помилка репрезентативності виборки «µ»

Спосіб відбору	Помилка вибірки для визначення середньої величини	Помилка вибірки для визначення частки
Повторний
Безповторний

У наведених формулах середньої помилки виборки (табл. 3.5):

- є частка обстеженої частини вибіркової сукупності ; - необстежена частина генеральної сукупності; w - частка одиниць, які мають дану ознаку;

„1 –w” - частка одиниць, які не мають даної ознаки.

Оскільки «n» завжди менше «N», то додатковий множник завжди менше одиниці. Отже, абсолютне значення помилки вибірки при безповторному відборі завжди менше, чим при повторному.

Якщо чисельність вибірки досить велика, то величина близька до одиниці, а тому нею можна знехтувати. Тоді середню помилку випадкового безповторного відбору визначають за формулою власне випадкової повторної вибірки.

Порядок із середньою помилкою вибірки розраховують і її граничну величину “∆” . Вона може бути більшою, чи дорівнювати, або меншою від середньої помилки репрезентативності «µ».

Тому граничну помилку репрезентативності обчислюють з певною ймовірністю «Р», якій відповідає t – разове значення «µ». З урахуванням цього формула граничної помилки репрезентативності буде мати вигляд:

; ;

де t - коефіцієнт довіри (коефіцієнт кратності середньої помилки вибірки), який залежить від ймовірності (Р), з якою гарантується значення граничної помилки виборки, і визначається як відношення граничної помилки вибірки до середньої помилки.

Середня і гранична помилки вибірки – величини іменовані і виражаються в тих самих одиницях, що й середня арифметична і середнє квадратичне відхилення.

В практичних розрахунках найчастіше використовуються наступні значення «t» та відповідні до них ймовірності (Р) для вибірок з чисельністю n ≥ 30 одиниць сукупності:

t	1	2	3	4
p	0,683	0,954	0,997	0,999

Отже, при t=1 з ймовірністю 0,683 можна стверджувати, що гранична помилка вибірки не перевищує «µ», тобто в 68,3% випадків помилка репрезентативності не виходить за межі ±µ. Інакше, в 683 випадках із 1000 помилка репрезентативності не перевищує однократної середньої помилки. З ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що помилка репрезентативності не перевищує ±2 µ, з ймовірністю 0,997- не перевищує ±3 µ, з ймовірністю 0,999, тобто дуже близько до одиниці можна очікувати, що різниця між вибірковою і генеральною середніми не перевищує чотириразової помилки вибірки.

Математично доведено, що відношення помилки вибірки до середньої помилки, як правило, не перевищує ±3 µ при досить великій чисельності вибірки «n». Тому величину ∆=3 µ можна прийняти за межу можливої помилки вибірки.

Гранична помилка вибірки обчислюється по-різному, залежно від видів і способів відбору Вона дає можливість встановити, в яких межах лежать значення генеральної середньої або частки. В табл.. 3.6 наведені формули для розрахунку граничної помилки власне випадкової і механічної вибірки.

Таблиця 3.6 – Граничні помилки вибірки «∆»

Спосіб відбору	Помилка вибірки для визначення середньої величини	Помилка вибірки для визначення частки
Повторний
Безповторний

Додаючи граничну помилку вибірки до вибіркової середньої ( ) та випадкової частки (W) і віднімаючи ії від цих показників, знаходять межі генеральної середньої ( ) та генеральної частки (ρ):

• для середньої

– = ±∆;

• для частки

ρ - w ≤ ρ ≤ w+∆.

Виходячи з цього, величину генеральної середньої та генеральної частки можуть бути представлені інтервальною оцінкою у вигляді визначення довірчого інтервалу із заданого рівня довірчої ймовірності:

• для середньої

– ∆ ≤ ≤ +∆;

• для частки

w - ∆ = ∆

Однією із основних задач вибіркового методу є визначення чисельності виборки «n» , яка з відповідною ймовірністю забезпечує встановлену точність результатів спостереження. Надмірна чисельність вибірки призводить до затягнення строків дослідження, зайвих витрат часу і коштів, недостатня ж дає результати з великою помилкою репрезентативності.

Визначаючи потрібну чисельність вибірки, необхідно враховувати наступні фактори:

• ступінь варіації досліджуваної ознаки – чим більше варіація (дисперсія, коефіцієнт варіації та ін.), тим більше треба взяти одиниць для вибіркового спостереження;

• величина граничної помилки вибірки (чим точніше результати потрібно отримати, тобто з меншою помилкою вибірки тим більшою повинна бути чисельність вибіркової сукупності);

• ймовірність, з якою гарантовано результати вибірки (чим більшим є заданий рівень довірчої ймовірності „р”, тим більше нормоване відхилення «t», тим більшою має бути чисельність вибірки «n»).

Визначення необхідної чисельності вибірки залежить від алгебраїчного перетворення формул граничної помилки вибірки при різних способах відбору. Для власне випадкової і механічної вибірки це здійснюється таким чином. Обидві частини формули граничної помилки вибірки підносимо до квадрата і отримуємо , звідки необхідна чисельність вибірки .

У табл. 3.7 наведені формули для розрахунку необхідної чисельності вибірки.

Таблиця 3.7 – Чисельність вибірки «n»

Спосіб відбору	Для визначення середньої	Для визначення частки
Повторний
Безповторний

Кінцевою метою будь-якого вибіркового спостереження є поширення його характеристик на генеральну сукупність.

Розрізняють два способи поширення даних вибіркового спостереження:

• спосіб прямого перерахунку – на основі вибірки розраховують показники обсягу генеральної сукупності, використовуючи при цьому вибіркову середню або частку, які множать на кількість одиниць генеральної сукупності;

• спосіб поправочних коефіцієнтів - використовують в тих випадках, коли вибіркове спостереження здійснюють для перевірки й уточнення результатів суцільного спостереження (у цьому разі, зіставляючи дані вибіркового спостереження із суцільним, розраховують поправочний коефіцієнт, який використовують для внесення поправок у матеріали суцільного спостереження).

Методи формування вибіркової сукупності – це є важливий чинник, від якого залежить репрезентативність вибірки, а способи відбору одиниць у вибірку дають можливість підвищити точність характеристики та визначити оптимальну ії величину в маркетинговій, правовій, фінансово-економічній та іншій діяльності. Відбір вважають задовільним, якщо гранична помилка репрезентативності не перевищує 2-5%. Якщо помилка більша ніж 5%, вибірку вважають нерепрезентативною й повторюють відбір. Якщо й повторний відбір не дає позитивних результатів, то для підвищення репрезентативності доцільно збільшити чисельність вибіркової сукупності (Див.: Захожай В.Б Статистика: Підруч. для студ. вищ.навч закл./В.Б. Захожай,І.І. Попов.-К.:МАУП, 2006, с 224);