3. Статистичні методи дослідження закономірностей і вимірювання взаємозв’язків масових суспільних явищ

3.1. Ряди динаміки (аналіз інтенсивності динаміки та тенденцій розвитку масових суспільних явищ)

Соціально-економічні явища, які вивчає статистика, постійно змінюються і розвиваються як у просторі, так і в часі (за годину, день, місяць, рік). У процесі такого розвитку змінюється їх обсяг, рівень, склад і структура. Тому один із важливих завдань статистики є вивчення суспільних явищ в безперервному розвитку і динаміці.

Динамікою (від. грецького динаміс – сила, розвиток) в статистиці прийнято називати процес розвитку суспільних явищ у часі. Дослідження динаміки дає можливість охарактеризувати процес розвитку явищ, розкрити основні шляхи, закономірності, окремі тенденції, темпи і інтенсивність цього розвитку.

Рядом динаміки, або динамічним рядом, називають ряд розміщених у хронологічній послідовності числових даних (статистичних показників), які характеризують величину суспільного явища на даний момент або за певний період часу.

Кожний ряд динаміки складається з двох елементів:

• конкретних значень відповідних статистичних показників, що характеризують розмір досліджуваних суспільних явищ, і які називаються рівнями ряду;

• ряду періодів (роки, квартали, місяці, декади, тижні тощо), або моментів часу, яких стосуються рівні ряду (наприклад, початок кожного року, кварталу, місяця і т.п.).

Рівні ряду відображають кількісну оцінку (міру) розвитку досліджуваного суспільного явища. Вони можуть бути виражені абсолютними, відносними і середніми величинами. При аналізі рядів динаміки всі ці величини необхідно використовувати в комплексі, вони мають доповнювати один одного. Перший показник ряду динаміки називається початковим, останній – кінцевим, а всі інші, які знаходяться між ними – є проміжними.

Розрахунок характеристик динаміки ґрунтується на порівнянні рівнів ряду. Для цього необхідно, щоб досліджувана сукупність стосувалася однієї й тієї самої території, одного й того самого кола об’єктів. Показники, якими характеризується сукупність, слід обчислювати за єдиною методикою, виражати в одних і тих самих одиницях виміру, порівнювати зазвичай за однакові проміжки часу.

При порівнянні рівнів динамічного ряду база порівняння може бути постійною чи змінною. За постійну базу порівняння беруть або початковий рівень ряду, або рівень, який вважається вихідним для розвитку досліджуваного суспільного явища. Характеристики динаміки, розраховані відносно постійної бази, називається базисними. Якщо кожний рівень ряду динаміки порівнюється з попереднім, характеристики називаються ланцюговими. Рівень, який зіставляється, називають поточним, а рівень, з яким зіставляють інші рівні – базисним.

Залежно від ознак, що вивчаються, розрізняють такі види рядів динаміки.

За ознакою часу – динамічні ряди поділяють на:

• інтервальні (періодичні) – це такі ряди динаміки, які характеризують величину явища за відповідні періоди часу (рік, квартал, місяць, тощо);

• моментні ряди – фіксує стан суспільного явища, його розмір або величину на відповідний момент часу (на початок року, кварталу, місяця).

За формою подання (вираження) досліджуваних явищ розрізняють:

• ряди динаміки абсолютних величин – це ряди, рівні яких виражаються абсолютними величинами (наприклад, обсяг виробництва продукції, величина прибутку, фонд оплати праці робітників підприємства за певні проміжки часу);

• ряди динаміки відносних величин – ряди, статистичні показники (ознаки) яких виражені відносними величинами (наприклад, динаміка обсягу продукції у відсотках до початкового рівня динамічного ряду, частка фонду оплати праці робітників підприємства в загальній величині затрат на виробництво продукції, зміна структури основних фондів за певні проміжки часу);

• ряди динаміки середніх величин – динамічні ряди, статистичні показники яких виражені середніми величинами (наприклад, динаміка середньої заробітної плати, продуктивності праці, середньої тривалості життя населення).

За кількістю показників розрізняють ряди:

• одномірні (ізольовані) – характеризують зміну одного показника;

• багатомірні (комплексні) – характеризують зміну двох, трьох і більше статистичних показників. У свою чергу, багатомірні динамічні ряди поділяються на два види: паралельні – відображають динаміку одного і того самого показника щодо різних об’єктів (прибуток по підприємствах), або різних показників одного й того ж об’єкта (виробництво різних видів продукції в регіоні) і ряди взаємопов’язаних показників – характеризують динаміку декількох показників, взаємопов’язаних між собою (динаміка фондовіддачі основних фондів, фондоозброєності і продуктивності праці). Зв’язок між показниками багатомірного динамічного ряду може бути функціональним (адитивним чи мультиплікативним) або кореляційним.

Залежно від інтервалу між датами розрізнюють:

• повні динамічні ряди – це ряди динаміки з рівними інтервалами (з однаковими проміжками часу між датами);

• неповні динамічні ряди – ряди динаміки з нерівними часовими інтервалами.

Одним з важливих завдань аналізу рядів динаміки є вивчення особливостей розвитку досліджуваних суспільних явищ за окремі проміжки часу. Для виявлення напрямку та інтенсивності змін суспільних явищ за певні періоди часу використовують систему аналітичних (абсолютних і відносних) показників динаміки. До таких показників відносяться : абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту, абсолютне значення одного процента приросту, середній абсолютний приріст, середній рівень ряду динаміки, середній темп зростання і приросту та ін..

Абсолютний приріст являє собою різницю між двома рівнями, один з яких взято за базу порівняння. Він показує, на скільки одиниць кожен даний рівень відрізняється від рівня, взятого за базу порівняння. У тих випадках, коли звітний рівень менший, ніж попередній (або базисний), то отримаємо не абсолютний приріст, а абсолютне зменшення, яке записуємо зі знаком мінус. Таким чином, абсолютний приріст може бути додатним (динаміка зростання), відємним (зменшення, падіння) або рівним нулю(без змін). Абсолютні прирости можуть бути обчислені як ланцюгові, та базисні. Між базисними і ланцюговими абсолютними приростами існує зв’язок : сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює останньому базисному.

Темп зростання – це відношення двох рівнів, один з яких взято як базу порівняння. Якщо за базу порівняння беруть попередній рівень, то темпи зростання будуть ланцюговими. Коли за базу порівняння беруть початковий (базисний) рівень, то отримують базисні темпи зростання. Між ланцюговими і базисними темпами зростання є такий взаємозвязок :

• добуток ланцюгових темпів зростання дорівнює базисному темпу зростання за відповідний період ;

• частка від ділення двох сусідніх базисних темпів зростання дорівнює відповідному ланцюговому темпу зростання.

Темп приросту – це відношення абсолютного приросту до попереднього або початкового рівня. У першому випадку він є ланцюговим, у другому – базисним.

Абсолютне значення одного відсотка приросту – це відношення абсолютного приросту до ланцюгового темпу приросту. Його величина дорівнює 1/100 частини попереднього рівня.

Середній абсолютний приріст – розраховується за формулою середньої арифметичної простої з ланцюгових приростів, являє собою різницю між кінцевим і початковим рівнями ряду динаміки поділену на кілька приростів.

Середній рівень ряду динаміки – це середня, обчислена на основі рівнів динамічного ряду. Залежно від виду динамічного ряду розраховується наступним чином :

а) для інтервального ряду при рівновіддалених періодах часу – за формулою середньої арифметичної простої з його рівнів, для інтервального ряду з нерівно віддаленими періодами – за формулою середньої арифметичної зваженої, де в якості ваг (частот) беруть число періодів, протягом яких рівень не змінюється ;

б) для моментного ряду з рівновіддаленими моментами часу – за формулою середньої хронологічної, для моментного ряду з нерівновіддаленими моментами часу – за формулою середньої арифметичної зваженої (в якості частот у цій формулі, беруть число моментів, протягом яких рівень не змінюється).

Середній темп зростання – показує, в скільки разів у середньому кожен другий рівень більший (або менший) від попереднього рівня. Він обчислюється за формулою середньої геометричної. При цьому можуть бути різні варіанти розрахунку :

а) на основі ланцюгових темпів зростання досліджуваного показника :

,

де - середній темп зростання аналізованого показника ; х₁, х₂, х₃,…,х _n – ланцюгові темпи зростання ; n – число ланцюгових темпів зростання ;

б) на основі кінцевого і базисного (початкового) рівнів динамічного ряду:

де k – число рівнів динамічного ряду ; P_k, P₁ – відповідно кінцевий і початковий (базисний) рівні динамічного ряду ;

в) на основі загального базисного темпу зростання досліджуваного показника (Х_б)

Середній темп приросту – визначають як різницю між середнім темпом зростання і одиницею (якщо середній темп зростання має вигляд коефіцієнта ), або 100 (якщо він обчислюється у процентах).

Розрахунок зазначених вище аналітичних показників динаміки для наочності наведемо в статистичній таблиці 3.1.

Таблиця 3.1. Аналітичні показники динаміки доходів готелю

Показники	Формула розрахунку показників	Роки
		1	2	3	4	5
А	Б	1	2	3	4	5
Доходи, тис.грн. (Р) Показники динаміки 1. Абсолютний приріст, тис.грн. а) ланцюговий б) базисний		8450  	8805 355 355	9051 246 601	9232 181 782	9325 93 875
2. Темп зростання, % а) ланцюговий б) базисний		 	104,2 104,2	102,8 107,1	102,0 109,2	101 110,4
А	Б	1	2	3	4	5
3. Темп приросту, % а) ланцюговий б) базисний		 	4,2 4,2	2,8 7,1	2,0 9,2	1,0 10,4
4. Абсолютне значення одного відсотка приросту, тис.грн.	0,01		84,50	88,05	90,51	92,32
5. Середній абсолютний приріст, тис.грн.		 (9325 – 8450):4 = 218,75
6. Середній рівень ряду динаміки, тис.грн.		 (8450 + 8805 + 9051 + 9232 + 9325) : 5 = 8972,6
7. Середній темп зростання, %

Застосування наведених вище показників динаміки є лише першим етапом статистичного аналізу динамічних рядів, який дає можливість виявити швидкість та інтенсивність розвитку досліджуваних суспільних явищ.

Подальший аналіз динамічних рядів соціально-економічних показників повязаний із визначенням загальної (основної) тенденції (тренду) їх розвитку, вивченням сезонних коливань рівнів та дослідження зв’язку між ними.

Тенденція – це певний напрям розвитку, який набуває вигляду більш-менш плавної траєкторії. Тенденції (тренди) бувають позитивні і негативні. Знання тенденції розвитку тих чи інших суспільних явищ, їх виявлення дає можливість швидше, оперативніше вживати відповідних заходів до посилення дії позитивних й послаблення (або припинення) дії негативних змін.

В деяких випадках загальна тенденція розвитку суспільного явища досить чітко відображається рівнями ряду динаміки, які протягом всього аналізованого періоду систематично збільшуються, або зменшуються. Але частіше зустрічаються динамічні ряди, в яких їх рівні через будь-які об’єктивні або випадкові причини істотно коливаються, то зростаючи, то знижуючись, що наочно не проявляє основну тенденцію розвитку явища. В таких випадках для визначення основної тенденції розвитку суспільного явища використовують спеціальні прийоми обробки динамічних рядів – їх вирівнювання (згладжування).

До таких прийомів відносяться, насамперед, механічні методи вирівнювання – укрупнення періодів (збільшення інтервалів), вирівнювання ряду динаміки способом ковзної (клинної, рухомої) середньої, а також вирівнювання динамічного ряду по середньому абсолютному приросту, середньому коефіцієнту зростання і способу найменших квадратів (аналітичне вирівнювання рядів динаміки).

Прийом укрупнення інтервалів часу динамічного ряду – є одним з найпростіших способів виявлення тенденцій розвитку досліджуваних суспільних явищ. Суть його полягає в тому, що первинний ряд динаміки перетворюється і замінюється іншим, рівні якого відносяться до більших за тривалістю періодів часу (наприклад, денні інтервали замінюються на п’яти - або десятиденними, місячні інтервали - квартальними, замість щорічних беруть 3-5 –річні середні). Знов утворений динамічний ряд може складатися із абсолютних величин за укрупнені періоди часу, які отримують шляхом додавання рівнів первинного ряду абсолютних величин по інтервалах. При додаванні рівнів або при обчисленні середніх по укрупнених інтервалах взаємноврівноважуюються коливання первинного ряду динаміки, внаслідок чого тенденція розвитку досліджуваного суспільного явища вирізняється чіткіше.

Техніку вирівнювання динамічного ряду за допомогою способу укрупнення інтервалів розглянемо на прикладі, який характеризує зміну продуктивності праці одного робітника підприємства в розрізі окремих місяців звітного року (див. табл. 3.2.).

Таблиця 3.2. – Динаміки середньомісячної продуктивності праці одного робітника підприємства, тис.грн.

Місяць	Продуктивність праці одного робітника	Спосіб укрупнення інтервалів		Спосіб ковзної (плинної) середньої
		Сумарний виробіток за квартал	Середньомісячна продуктивність праці	Тримісячний рухомий підсумок продуктивності праці	Ковзна середня (плинна місячна продуктивність праці)
Січень Лютий Березень	25 24 29	 25+24+29=78 	 78:3=26 	 25+24+29=78 24+29+26=79	 78:3=26 79:3=26,3
Квітень Травень Червень	26 30 30	 26+30+30=86 	 86:3=28,7 	29+26+30=85 26+30+30=86 30+30+28=88	85:3=28,3 86:3=28,7 88:3=29,3
Липень Серпень Вересень	28 31 32	 28+31+32=91 	 91:3=30,3 	30+28+31=89 28+31+32=91 31+32+37=100	89:3=29,7 91:3=30,3 100:3=33,3
Жовтень Листопад Грудень	37 34 33	 37+34+33=104 	 104:3=34,7 	32+37+34=103 37+34+33=104 	103:3=34,3 104:3=34,7 

Дані табл. 3.2. показують, що якщо розглядати рівні продуктивності праці одного робітника за окремі місяці, то внаслідок впливу багатьох факторів спостерігається зниження або підвищення цього показника. Через це не можна побачити основну тенденцію його розвитку. Рішення цієї задачі спрощується, якщо відповідні місячні рівні продуктивності праці одного робітника поєднати у квартальні, укрупнивши інтервали. Щоб отримати середньомісячні рівні продуктивності праці у розрізі окремих кварталів, спочатку треба знайти сумарні виробітки за квартали, а потім добуті суми поділити на кількість місяців у кварталі. Знайдені суми і середні, запишемо центруючи їх на середину кожного кварталу (відповідно лютий, травень, серпень і листопад).

В результаті проведеного укрупнення періодів ряду динаміки чітко проявляється основна тенденція (тренд) зростання продуктивності праці одного робітника. Так, добуті результати показують, що абсолютна величина цього показника систематично зростала за досліджуваний звітний період (з 26 тис. грн. в першому кварталі, до 34,7 тис.грн в четвертому кварті тобто на 7,8 тис. грн., або на 33,5%). Після збільшення інтервалів основна тенденція зростання продуктивності праці одного робітника стає явною : 26 < 28,7 < 30,3 < 34,7.

Слід відзначити, що при укрупненні періодів число членів динамічного ряду дуже скорочується (у наведеному прикладі було 12 рівнів, стало тільки 4). Цей істотний недолік значною мірою усувається при використанні прийому вирівнювання динамічних рядів способом ковзних (плинних, рухомих) середніх

Ковзна середня – це середня укрупнених періодів, створених послідовним виключенням кожного початкового рівня інтервалу і заміни його черговим наступним рівнем ряду. Таким чином, відбувається ніби ковзання періоду і отриманої середньої по динамічному ряду.

Якщо, наприклад, Р₁, Р₂,..., Р_n - показники первинного ряду динаміки за кілька місяців (років), тоді для визначення першого члена вирівняльного (вторинного) ряду динаміки за допомогою тричленної рухомої (плинної) середньої підсумовують перші три рівні і ділять отриману суму на „3”. Застосовуючи пятичленну плинну середню, беруть суму перших п’яти рівнів і ділять на „5”. Найчастіше використовують тричленну плинну середню ( ) :

; ; і тд.

Внаслідок такого підходу дістається новий динамічний ряд, зіставлений із нових середніх. Цей прийом, як і попередній, ґрунтується на теоретичному положенні про те, що в середніх величинах взаємно погашаються випадкові відхилення і виявляється типове, закономірне.

Покажемо методику розрахунку ковзних середніх використовуючи дані про продуктивність праці одного робітника підприємства (табл. 3.2.).

Ковзні середні розрахуємо по тримісячних періодах. Для цього підсумуємо продуктивність праці одного робітника за перші три місяці (січень, лютий, березень), а потім, опускаючи дані першого в ряду динаміки місяця, підсумуємо продуктивність праці за наступні три місяці (лютий, березень, квітень) і т.д. В результаті отримаємо тримісячні рухомі підсумки продуктивності праці : 78, 79,..., 104. Добуті суми поділимо на „3” (число місяців в періоді ковзання), а обчислену середню віднесемо до середини періоду ковзання (в нашому прикладі – другий місяць кожного трирічного періоду ковзання).

Розраховані ковзні середні (26; 26,3;...; 34,7), що характеризують середньомісячну плинну продуктивність праці за відповідний період ковзання, показують стійку тенденцію зростання продуктивності праці на даному підприємстві (див. табл. 3.2.).

Плинна середня хоча і згладжує варіацію рівнів, але не дає такого ряду динаміки, в якому всі вихідні рівні були б замінені вирівняними. Це пояснюється тим, що вирівняний (теоретичний) ряд (плинна середня) менше показників, ніж вихідний динамічний ряд на (К-1) : 2 члена з одного та другого кінця (К – це число членів ряду динаміки, з яких розраховують ковзні середні).

Бажання в процесі вирівнювання динамічного ряду замінити всі вихідні його рівні вирівняними зумовлює застосування досконаліших прийомів вирівнювання рядів динаміки, до яких насамперед належать : вирівнювання по середньому абсолютному приросту і середньому коефіцієнту (темпу) зростання.

При застосуванні способу вирівнювання динамічного ряду по середньому абсолютному приросту допускають, що кожен наступний рівень ряду змінюється порівняно з попереднім приблизно на однакову величину, що дорівнює середньому абсолютному приросту досліджуваного показника.

Рівняння яке відображує основну тенденцію розвитку того чи іншого суспільного явища за цим прийомом вирівнювання динамічного ряду , має такий вигляд :

,

де - вирівняні рівні динамічного ряду ; - початковий рівень ряду динаміки ; - середній абсолютний приріст досліджуваного показника ; t - порядковий номер дати (року, кварталу, місяця тощо).

Порядок вирівнювання на основі середнього абсолютного приросту досліджуваного явища розглянемо на прикладі динамічного ряду прибутку комунального підприємства (див. табл. 3.3.)

Таблиця 3.3. Динаміка прибутку комунального підприємства

Рік	Прибуток підприємства, тис. грн.	Порядковий номер року	Величина прибутку, вирівняна по середньому абсолютному приросту, тис. грн.	Величина прибутку, вирівняна по середньому коефіцієнту зростання, тис. грн.
	Р	t
Перший	350	0	350	350,0
Другий	362	1	360	359,5
Третій	370	2	370	369,2
Четвертий	382	3	380	379,2
Пятий	391	4	390	389,5
Шостий	400	5	400	400,0

На основі даних табл.. 3.3. визначимо середній абсолютний приріст величини прибутку підприємства :

де Р₀ – початковий рівень ряду динаміки ; Р_к – кінцевий рівень ряду динаміки ; n – число абсолютних приростів (n=5).

Таким чином, прибуток підприємства щорічно збільшувався в середньому на 10 тис. грн.

Обчислимо вирівняні по середньому абсолютному приросту значення прибутку для кожного року, підставляючи у наведене вище рівняння замість „t” його значення (t=0,1,2,3,4,5).

Вирівняні значення прибутку становитимуть :

для першого року (при t=0) : ;

для другого року (при t=1) : і т.д.

Вирівняний по середньому абсолютному приросту динамічний ряд на графіку являє собою пряму лінію, яка з’єднує мінімальне і максимальне значення аналізованого показника. Він дає можливість більш точніше відобразити загальну тенденцію зміни того чи іншого досліджуваного суспільного явища .

Водночас слід відзначити, що теоретична лінія, яка вирівнює перший динамічний ряд, залежить тільки від двох крайніх значень рівнів ряду динаміки (початкового і кінцевого), які можуть істотно змінюватися під впливом випадкових чинників. В зв’язку з цим тенденція, яка дійсно має місце в досліджуваному явищі, може бути спотворена. Тому спосіб вирівнювання динамічних рядів по середньому абсолютному приросту доцільно використовувати тільки для рядів, які мають стабільні щорічні абсолютні прирости.

Вирівнювання динамічного ряду по середньому коефіцієнту зростання в тих випадках, коли в аналізованому ряду кожен наступний його рівень змінюється порівняно з попереднім приблизно в одну і ту саму кількість разів, що дорівнює величині середнього коефіцієнта зростання.

Вирівняні значення рівнів динамічного ряду в цьому випадку обчислюють за такою формулою :

,

де - середній коефіцієнт зростання аналізованого показника.

Для виявлення загальної тенденції на основі середнього коефіцієнта зростання використаємо дані табл. 3.3. З цією метою визначимо середній коефіцієнт зростання прибутку підприємства за формулою :

Отже, величина прибутку щороку в середньому зростала на 2,71%.

Визначимо вирівняні по середньому коефіцієнту зростання абсолютні значення прибутку :

для першого року (при t=0) :

для другого року (при t=1) : і т.д.

Аналіз динамічного ряду показує, що коефіцієнти зростання прибутку залишаються приблизно однаковими і становлять 1,02 – 1,03. Отже для даного динамічного ряду характерно збільшення кожного наступного рівня порівняно з попереднім в ту саму кількість разів, яка дорівнює величині середнього коефіцієнта зростання. Це означає, що даний ряд динаміки доцільно вирівнювати по середньому коефіцієнту зростання.

Однак, слід мати на увазі, що при обчисленні вирівняних значень рівнів динамічного ряду по середньому коефіцієнту зростання, так само як і при вирівнюванні по середньому абсолютному приросту, використовуються тільки два крайніх рівні ряду динаміки (початковий, кінцевий), які внаслідок впливу випадкових факторів можуть бути нехарактерними для досліджуваного суспільного явища.

Тому досконалішим і точнішим способом вирівнювання динамічних рівнів, який враховує всі рівні вихідного ряду, є аналітичне вирівнювання по способу найменших квадратів.

При цьому прийомі вирівнювання динамічного ряду фактичні значення рівнів Р_t замінюються обчисленими на основі певної функції часу , яку називають трендовим рівнем (t – змінна часу, - теоретичні рівні динамічного ряду, визначені за відповідним рівнянням на момент часу t).

Суть аналітичного вирівнювання рядів динаміки полягає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються теоретичними (плавними) рівнями, обчисленими на основі певної прямої чи кривої, вибраної в припущенні, що вона найточніше відображає загальну тенденцію зміни досліджуваного соціального явища у часі.

Аналітичне вирівнювання можна провести з використанням різних типів функцій. На практиці застосовуються найчастіше математичні функції такого виду :

а) лінійна - ;

б) параболічна - ;

в) гіперболічна - ;

г) степенева - ,

де - вирівняні (теоретичні) значення рівнів динамічного ряду ; і - параметри рівняння, які знаходяться методом найменших квадратів ; - початковий рівень ряду динаміки при t=0 ; - коефіцієнт регресії або пропорційності (тангенс кута нахилу прямої лінії до осі абсцис), середній щорічний приріст (зниження) досліджуваного явища ; t – порядковий номер періоду (року).

На основі теоретичного аналізу виявляється характер розвитку аналізованого явища за часом і на цій основі вибирається той чи інший вид аналітичної функції. Це здійснюється за таких умов :

• якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, тобто рівні ряду змінюються приблизно в арифметичній прогресії, тоді доцільно вирівнювати динамічний ряд за рівнянням прямої лінії ;

• в тому випадку, коли зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів, тоді необхідно вирівнювання динамічних рядів здійснювати за рівнянням квадратичної параболи ;

• коли рівні ряду динаміки виявляють тенденцію до сталості ланцюгових темпів зростання, тобто у випадку зміни рівнів динамічного ряду в геометричній прогресії, тоді доцільно вирівнювання здійснювати на основі ступеневої функції.

Розрахунок параметрів наведених вище математичних функцій здійснюється методом найменших квадратів. Суть його полягає в знаходженні такої теоретичної прямої або кривої, ординати точок якої були б найближчі до значень фактичного ряду динаміки. Добитися цього можна за умови, що сума квадратів відхилень фактичних рівнів ряду (Р) від розрахованих (теоретичних, вирівняних) за математичним рівнянням ( ) буде мінімальною :

.

На основі цієї умови отримують систему нормальних рівнянь, яка має наступний вигляд :

де Р – фактичні рівні ряду динаміки ; k – число рівнів ряду динаміки.

Розрахунок параметрів і , в рівняннях можна значно спростити, якщо початок відліку часу (t=0) перенести в середину динамічного ряду, тобто рівень, що знаходиться всередині ряду динаміки, беруть за умовний початок відліку, або нульове значення. Для того, щоб сума показників часу дорівнювала нулю умовні позначення необхідно давати таким чином : при непарному числі рівнів ряду динаміки, щоб дістати умови , рівень, що перебуває в середині ряду, прирівнюють до нуля, а рівні, розташовані вище його, позначають числами із знаком „мінус” (-1, -2, -3 тощо), а нижче - числами із знаком „плюс” (+1,+2,+3 і т.д.). При парному числі рівнів ряду динаміки рівні, що лежать вище середнього значення (воно знаходиться всередині між двома серединними датами), позначають натуральними числами із знаком „мінус” (-1, -3, -5 тощо), а рівні, що лежать нижче середнього значення - натуральними числами із знаком „плюс” (+1, +2, +3 і т.д.)

У разі відліку часу від середини ряду динаміки, в обох випадках , а система нормальних рівнянь спрощується, набуваючи у випадку лінійної залежності такого вигляду :

.

Звідки :

Отже, для того щоб визначити параметри рівняння, потрібно знайти такі суми :

Порядок обчислення параметрів лінійної функції розглянемо на прикладі динамічного ряду (див. табл. 3.1.) і усі розрахунки зведено в табл.. 3.4.

Таблиця 3.4. – Розрахункові дані для аналітичного вирівнювання динамічного ряду доходів готелю способом найменших квадратів.

Рік	Доходи тис. грн. Р	Зміна часу t	t2	Pt	Згладжена величина доходів
Перший	8,45	-2	4	-16,90	8,538
Другий	8,81	-1	1	-8,81	8,756
Третій	9,05	0	0	0	8,974
Четвертий	9,23	+1	1	9,23	9,192
Пятий	9,33	+2	4	18,66	9,410
k=5

Використовуючи розрахункові підсумки табл. 3.4., і, враховуючи, що довжина динамічного ряду К=5 обчислимо параметри трендового рівняння :

Звідси рівняння тренду (лінійний тренд) має вигляд :

.

Коефіцієнт регресії в даному рівнянні характеризує середній приріст доходів готелю за рік. Значення млн. грн. являє собою середньорічну величину доходів і відповідає теоретичній величині цього показника для третього року, для якого було взято „0” за номер року.

Послідовно підставивши в рівняння значення (-2, -1, 0, +1, +2),дістанемо згладжений (теоретичний) ряд динаміки доходів, абстрагований від випадкових коливань, який характеризується систематичним зростанням досліджуваного показника (див. останній стовпчик табл. 3.4.)

Суми фактичних рівнів і розрахованих за лінійним трендом теоретичних рівнів однакові : Це означає, що рівні вирівняного (теоретичного) динамічного ряду розраховано правильно.

Вирівнювання (згладжування) рядів динаміки відіграє важливу роль при аналізі суспільних явищ, які змінюються в часі, особливо при їх прогнозуванні.

Згладжування рядів динаміки використовують також для виявлення їх рівнів, на яких немає даних, за допомогою інтерполяції та екстраполяції.

Інтерполяцією ряду динаміки в статистиці називають знаходження відсутніх рівнів в середині динамічного ряду, коли відомі рівні, що лежать по обидві сторони невідомого.

Невідомі рівні динамічного ряду в цьому випадку можна знайти двома способами :

1. треба визначити середній абсолютний приріст досліджуваного показника за той чи інший період часу і підставити його значення в рівняння , розрахувати невідомі рівні ряду динаміки (див. табл. 3.3.) ;

2. визначити невідомий рівень динамічного ряду можна як півсуму із значень двох суміжних відомих рівнів цього ряду.

Визначення невідомих рівнів динамічного ряду, що лежать за його межами, тобто в майбутньому (або в минулому), називають екстраполяцією ряду динаміки. Відповідно до цього екстраполювання може здійснюватися як у бік майбутнього (перспективна екстраполяція), та і у бік минулого (ретроспективна екстраполяція).

Екстраполяція має велику роль в плануванні, де вона дає можливість прогнозувати соціально-економічні явища. Застосування екстраполяції для прогнозування базується на примушенні, що характер динаміки, яка мала місце в минулому, збережеться на обмеженому відрізку в майбутньому.

Такі прогнозні розрахунки (екстраполяційні) можна зробити двома способами :

1. використати для прогнозних розрахунків середній абсолютний приріст аналізованого показника і формулу :

де - прогнозний або екстраполяційний рівень ; Р_n – останній (звітний) рівень динамічного ряду ; - середній абсолютний приріст аналізованого показника за відповідний період часу ; t – кількість річних приростів, які визначаються як різниця між порядковим номером кінцевого рівня динамічного ряду і прогнозного. За даними табл. 3.3. прогнозний рівень прибутку комунального підприємства для восьмого року складатиме: ;

2. використати для прогнозних розрахунків рівняння прямої лінії. За даними табл. 3.4. обчислимо прогнозний рівень величини доходів готелю для восьмого року (в даному випадку базою прогнозування є теоретичний рівень п’ятого року, період упередження v=3, коефіцієнт регресії ) :

При стабільних темпах зростання рівнів динамічного ряду екстраполяцію можна також проводити на основі середнього коефіцієнту зростання. Однак визначення відсутніх рівнів ряду динаміки при екстраполяції найчастіше повязують з аналітичним вирівнюванням способом найменших квадратів, який дає точніші результати.

У практиці статистичного дослідження динамічних рядів часто доводиться мати справу з аналізом сезонних коливань рівнів рядів, зумовлених зміною пори року.

Сезонними коливаннями називають більш-менш стійкі коливання в рядах динаміки, зумовлені специфічними умовами виробництва чи споживання певного виду продукції, або пов’язано з іншими чинниками коливань того чи іншого суспільного явища.

При вивченні сезонних коливань необхідно встановити загальну тенденцію зміни досліджуваного явища у часі, охарактеризувати ступінь сезонності і виявити чинники, що викликають сезонні коливання.

Щоб виявити сезонні коливання, аналізують місячні (квартальні) рівні ряду за один рік або кілька років.

Сезонні коливання в статистиці вимірюють за допомогою обчислення спеціальних показників, які називають індексами сезонності. В сукупності ці індекси утворюють сезонну хвилю. Вони можуть бути розраховані різними способами. При стабільній тенденції в ряді динаміки показники сезонності визначають як процентне відношення рівнів за кожний місяць до середньомісячного рівня за рік.

Однак через вплив випадкових причин місячні рівні динамічного ряду за один рік можуть бути нетиповими. Тому на практиці індекси сезонності розраховують на основі місячних даних за кілька років (три роки і більше). В цьому випадку для кожного місяця обчислюють середню величину рівня за кілька років, потім з них розраховують середньомісячний рівень для всього ряду. Кожен середньомісячний рівень порівнюють з середньомісячним річним рівнем за кілька років, а отриманий результат перемножують на 100%, що і буде являти собою індекс сезонності (І_s) :

,

де - середні місячні або квартальні фактичні рівні ; - загальні середньомісячні або квартальні рівні, розраховані за кілька років.