2.3. Показники варіації

Середні величини ( , М₀, М_е ), як узагальнюючі показники, характеризують статистичні сукупності за варіаційною ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. В середній відображаються загальні умови, притаманні всій сукупності, але не відображаються індивідуальні часткові умови, що породжують варіацію у окремих одиницях даної сукупності. Середня величина не пояснює, як групуються навколо неї індивідуальні знання ознаки чи лежать вони поблизу, чи, навпаки, істотно відрізняються від середньої. Інколи окремі значення варіант досить близько розташовуються поблизу середньої, в такому разі середня досить надійно описує всю досліджувану сукупність. В інших сукупностях окремі значення варіант відхиляється далеко від середньої, а отже, вона не дуже надійна. Чим менші відхилення, тим однорідніша статистична сукупність, а тому більш надійні і типові середні характеристики розподілу.

В зв’язку з цим середня величина не дає вичерпної характеристики положення статистичного розподілу. Виникає необхідність вивчення варіації ознак, використовуючи для цієї мети специфічні показники міри розсіювання.

Коливання окремих значень ознаки характеризують показники варіації. Термін „варіація” походить від латинського слова variato - зміна, коливання відмінність, різниця.

Варіацією ознаки в статистиці називають різницю у числових значеннях ознак одиниць сукупності та їх коливання навколо середньої величини, що характеризують сукупність. Варіація є властивістю статистичної сукупності. Вона зумовлена множиною взаємопов’язаних між собою необхідних та випадкових внутрішніх та зовнішніх факторів, серед яких є основні та другорядні. Основні фактори формують центр розподілу, другорядні – варіацію ознак, спільна їх дія – форму розподілу.

Для вимірювання та оцінки варіації використовуються різні показники. Відповідно з визначенням варіація вимірюється ступенем коливання варіант ознаки від рівня їх середньої величини. Саме на цьому і ґрунтується більшість показників, які застосовуються в статистиці для вимірювання варіації ознаки в сукупності.

Всі показники варіації поділяються на дві групи : абсолютні та відносні. До абсолютних показників (характеристик) відносяться : розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

Розмах варіації (R) - це найпростіший показник варіації (амплітуди коливань), характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки, і розраховується як різниця між максимальним (X _max) і мінімальним значенням(X _mіn) ознаки (варіанти), яка варіює :

.

Перевагою цього показника є простота його обчислення, але надійність такої простої характеристики невисока, оскільки вона ґрунтується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для досліджуваної сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації. Середнє лінійне відхилення (d) – являє собою середню арифметичну з абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних варіант від їх середньої ( ):

а) просте(дані не згруповані)

;

б) зважене

.

Прямі дужки означають, що абсолютні значення відхилень беруться по модулю, тобто підсумовування виконується без врахування знаків (плюс або мінус). Це пояснюється нульовою властивістю середньої арифметичної (сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю). Тому для отримання суми всіх відхилень, відмінної від нуля, кожне відхилення слід брати як додатну величину.

Цей показник більш обґрунтований порівняно з розмахом варіації, так як він не залежить від випадкових коливань крайніх значень ознаки, оскільки спирається на всі її значення (враховує всю суму відхилень індивідуальних варіантів від середньої арифметичної та частоти).

Однак середнє лінійне відхилення в статистичній практиці використовують мало, оскільки воно не завжди характеризує розсів варіант. Це пов’язане з тим, що в ньому не враховуються знаки (спрямованість) відхилень, а це значно ускладнює використання середнього лінійного відхилення при розв’язанні задач, пов’язаних з імовірнісними розрахунками. Ступінь варіації об’єктивніше відображає показник середнього квадрата відхилення (дисперсія).

Середній квадрат відхилення, або дисперсія ( ²) являє собою середню арифметичну квадратів відхилень окремих варіант від їх середньої. В залежності від вихідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами середньої арифметичної простої або зваженої :

а) проста

б) зважена

Дисперсія – це один з найбільш розповсюджених в статистиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Однак - це суто математична величина, яка не має економічного змісту, а отже й одиниці виміру. Тому дисперсію не завжди зручно застосовувати в обчисленнях, бо різницю ознаки від її середнього значення необхідно підносити до квадрата.

Середнє квадратне відхилення ( ) – це корінь квадратний з дисперсії. Просте та зважене середнє квадратичне відхилення розраховують за формулами :

а) просте

;

б) зважене

.

Смислове значення середнього квадратичного відхилення таке саме, як і лінійного відхилення : воно показує, на скільки в середньому відхилюються індивідуальні значення ознаки від їх середнього значення. Середнє квадратичне відхилення для сукупності завжди більше, ніж середнє лінійне відхилення. Його можна розрахувати за різні відрізки часу (роки, квартали, місяці, тижні) і робити відповідні висновки. Перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадратичне відхилення виражається в іменованих одиницях вимірювання, тобто в тих же одиницях вимірювання, що й значення досліджуваної ознаки (грн., кг, га тощо). Тому цей показник називають також стандартним відхиленням. Коли немає вихідних даних для обчислення середнього квадратичного відхилення, його приблизне значення розраховують за такими співвідношеннями : ; ; або (див.: Статистика:Підруч. для студ. вищ. навч. зал. /В.Б.Захожай , І.І.Попов .- К.:МАУП, 2006, с.127.).

Усі розглянуті абсолютні показники варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення та середнє квадратичне відхилення) завжди виражають у одиницях вихідних даних ряду та середніх величин. Вони є абсолютним виміром варіації. Це означає, що безпосередньо порівнювати абсолютні показники варіації у варіаційних рядах явищ не можна. З цією метою необхідно обчислити відносні показники, які характеризують варіацію, виражену в стандартних величинах, наприклад, у відсотках. До відносних показників варіації відносяться наступні :

• коефіцієнт осциляції (V_R) :

;

• лінійний коефіцієнт варіації (V_d) :

;

• квадратичний коефіцієнт варіації(V ):

.

Найбільш широке використання отримав квадратичний коефіцієнт варіації, який застосовується в якості критерію оцінки ступеня однорідності статистичної сукупності. Чим більший коефіцієнт варіації, тим менш однорідна статистична сукупність і тим менш типова середня арифметична для даної сукупності. Розрізняють такі значення відносних коливань : незначне (при < 10%); середнє коливання (при = від 10 до 30 % ); велике коливання (при > 30%).

Вважають, що статистична сукупність є однорідною, а середня арифметична – типовою, коли квадратичний коефіцієнт варіації не перевищує 33% (див.: Бек В.Л. Теорія статистики. – К., ЦУЛ, 2003, с.130).

Методику розрахунку перелічених показників варіації розглянемо на прикладі розподілу робітників підприємства за розміром їх виробітку (табл. 2.2).

Таблиця 2.2. Вихідні дані для розрахунку показників варіації

Групи робітників за розміром виробітку, тис.грн.	Кількість робітників (частоти), осіб	Розрахункові показники
		Середина інтервалу (варіанти)	Добуток варіантів на частоти	Лінійне відхилення		Квадратичне відхилення
	Y	X	XY
36 – 38	7	37	259	6,01	42,07	36,12	252,84
38 – 40	17	39	663	4,01	68,17	16,08	273,36
40 – 42	18	41	738	2,01	36,18	4,04	72,72
42 – 44	25	43	1075	0,01	0,25	0,00	6,25
44 – 46	19	45	855	2,99	56,81	8,94	169,86
46 – 48	12	47	564	3,99	47,88	15,92	191,04
48 – 50	3	49	147	5,99	17,97	35,88	107,64
Усього	100	–	4301	25,01	269,33	116,98	1073,71

За даними табл. 2.2. спочатку обчислимо середній виробіток одного робітника за формулою арифметичної зваженої:

Знайдемо тепер абсолютні та відносні характеристики варіації.

Абсолютні показники варіації:

• розмах варіації:

• середнє лінійне відхилення:

• середній квадрат відхилень (дисперсія):

квадратних мір;

• середнє квадратичне відхилення:

або

Відносні показники варіації:

• коефіцієнт осциляції:

• лінійний коефіцієнт варіації:

• квадратичний коефіцієнт варіації:

Таким чином, середній виробіток одного робітника даного підприємства становить 43,01 тис.грн. Виробіток окремих робітників відрізняється від середнього показника на 2,69 тис.грн. за середнім лінійним відхиленням і на 3,28 тис.грн за середнім квадратичним відхиленням. Коефіцієнт варіації 7,6 % свідчить про незначні коливання виробітку окремих робітників по відношенню до середнього виробітку одного робітника на підприємстві, а це означає, що сукупність робітників даного підприємства за їх виробітком можна вважати якісно однорідною. Відповідно, обчислений показник середнього виробітку одного робітника є типовим для робітників цього підприємства, оскільки індивідуальні значення виробітку мають незначні коливання і істотно не відрізняються від середнього виробітку.