4.2. Принцип соответствия

В отличие от упругой модели, механические свойства топлива в вязко-упругой модели можно описывать комплексными операторами вязкоупругости - модулем и коэффициентом Пуассона ). Это не единственный способ описания вязкоупругих свойств топлива /17/, но он позволяет наиболее просто получить решение динамической задачи теории линейной вязкоупругости, если известно упругое решение. Для этой цели, при гармоническом нагружении, применяют известный в теории линейной вязкоупругости принцип соответствия /SO/, который формулируется следующим образом: если решение некоторой задачи для упругого материала имеет вид

f = Re [fE exp(iwt)] (4.4)

для каждой зависимой переменной, то решение соответствующей задачи для вязкоупругого материала будет иметь вид

f = Re (4.5)

где обозначает функцию, полученную из функции F_Е заменой упру­гих постоянных материала на соответствующие комплексные функции.

Выражение "соответствующая задача" означает задачу, в которой уп­ругое тело заменено вязкоупругим. Принцип соответствия применим только при следующих условиях:

- решение задачи для упругого материала известно;

- при решении задачи для упругого материала не применяется опе­рация, которой при решении задачи для вязкоупругого материала будет соответствовать операция отделения действительной (Re) и мнимой (ш) частей комплексного числа, за исключением окончательного опре­деления f;

- граничные условия для двух случаев одинаковы.

Решения (3.52) - (3.55) для упругих компонентов НДС заряда соответствуют упругой модели (4.4). Для перевода их в вязкоупругую модель (4.5) необходимо в выражениях (3.52) - (3.55) произвести замену упругих характеристик топлива Е_n, комплексными и соответственно. Тогда параметры НДС (3.52)-(3.55) также ста­новятся комплексными. После соответствующих алгебраических преобра­зований по каждой компоненте НДС следует выделить действительную и мнимую часть, после чего определить модуль и аргумент ) комплексного выражения, т.е. каждое из них представить в виде , где А - амплитудно-частотная характе­ристика (АЧХ); - фазочастотная характеристика (ФЧХ).Знак минус перед ФЧХ обусловлен вязкоупругими свойствами топлива.

Проводить непосредственное преобразование выражений (3.52) - (3.55) по указанной схеме нет необходимости, поскольку операция преобразования комплексных выражений успешно решается вычислитель­ной техникой.

Рассмотрим некоторые примеры расчетов. Типичные АЧХ и ФЧХ за­ряда приведены на рис.4.4, где АЧХ: Дб_г - относительное контактное радиальное напряжение, Дб_г = Дб_г / ДР; Де@ - относительная окружная деформация на канале заряда, Д10 = Дев / ДР; ФЧХ: у%- угол сдвига фаз между колебательными составляющими контактного радиального на­пряжения и давления в камере двигателя. Из рисунка видно, что ос­новной резонанс системы отчетливо проявляется на АЧХ, в то время как второй резонанс настолько слаб, что его можно идентифицировать лишь с помощью ФЧХ. Это еще раз подтверждает, что при радиальных колебаниях основной интерес представляют частотные характеристики основного тона, где, например, динамические напряжения в несколько раз превышают амплитуду осциллирующего давления в камере двигателя.

Обычно резонансные пики на АЧХ весьма узкие, так что при неко­тором удалении от резонансной частоты уровень динамических напряже­ний и деформаций быстро уменьшается. Это особенно хорошо видно из рис.4.5, где изображены поля относительных динамических напря­жений Д6_Г= Дб_г / ДР, распределенные по своду заряда. Так, для низкомодульного топлива при частоте 140 Гц и угле сдвига фаз фе = 0,1 рад наибольшие напряжения наблюдаются на контактной по­верхности, где они усиливаются по сравнению с амплитудой осцилли­рующего давления более чем в 15 раз. Однако, если частота колебаний давления окажется на 10 Гц больше, контактные напряжения умень­шатся почти вдвое. Такое усиление динамических напряжений в районе основной резонансной частоты объясняется тем, что на поверхности контакта, кроме упругих, действуют инерционные силы, обусловленные движением заряда. В этом заключается основное отличие распределения динамических напряжений 'по своду заряда от квазистатического при действии постоянного давления (рис.4.5, кривая 1). В районе основ­ной резонансной частоты динамические деформации к оболочке уменьша­ются.

При частотах, близких ко второй и далее формам радиальных ко­лебаний, максимумы динамических напряжений (так же, как и деформа­ций) смешаются в тело заряда (550 и 940 Гц). Однако величина их всегда намного меньше, чем в районе основного резонанса. Таким образом, расчетным режимом при оценке динамического НДС заряда сле­дует считать основной резонансный или близкий к нему (при Av -» min), а в качестве расчетных выбираются точки на канале для напряжений и окружной деформации и на контакте для напряжений. Эти точки совпадают с аналогичными точками при статическом анализе /5/. поэтому рассчитанные динамические компоненты НДС могут быть учтены при оценке прочности заряда по формулам, приведением в п.1.4.

0 ZOO WO 6O08Off vT/24

Рис.4.4. АЧХ и ФЧХ вязкоупругого заряда:

1- фе = ОД рад ; 2- 0,3 рад

Рис.4.5. Поля относительных динамических напряжений: 1- v=0; 2- 140 Гц; 3- 150 Гц;

4- 550 Гц; 5- 940 Гц