Математическая модель акустических колебаний в рдтт

1. Общие сведения. Проблема неустойчивости в камере РДТТ включает решение двух вопросов: поведения газа в объеме камеры сгорания и взаимо­действия его потока на границе раздела с твердым топливом. Граница раздела фаз включает три элемента: инертную ограничивающую жесткую поверхность, поверхность горения и выходную систему. Каждая из этих границ может быть предметом специального исследования. Для облегчения решения выход (сопло) рассматривают как граничное условие для потока газа из камеры.

Для теоретического анализа необходимо выбрать модель процесса (принять упрощающие предпосылки) и записать для каждой из представленных задач дифференциальные уравнения.

2. Основные допущения. Будем считать, что:

а) продукты сгорания в камере подчиняются законам идеального газа, в ко­тором отсутствуют силы вязкости, теплообмен со стенками и химические реакции;

б) газ является однокомпонентным с постоянной теплопровод­ностью;

в) конденсированные частицы имеют одинаковый размер.

Естественно, силы вязкости и теплообмен со стенками могут играть важную роль, но их учет значительно усложняет математическое описание процессов в камере, и поэтому ими пренебрегаем.

3. Исходные уравнения. Поток газа в камере сгорания РДТТ содер­жит частицы конденсированной фазы. Предполагая, что контрольный объем, для которого записываются исходные уравнения сохранения, содержит кроме газо­образных продуктов сгорания и эти конденсированные частицы (причем их объ­ем значительно меньше объема газа), можно обычными методами гидромехани­ки получить соответствующие уравнения сохранения.

Принятые допущения позволяют записать эти уравнения сохранения для по­тока продуктов сгорания в следующем виде:

уравнение сохранения массы (газа)

; (5.53)

уравнение сохранения массы (частиц)

; (5.54)

уравнение сохранения количества движения

; (5.55)

уравнение сохранения энергии

; (5.56)

где и - соответственно плотность газа и конденсированных частиц; и скорость газа и частиц; - скорость газообразования в единице объема; ; Q - скорость тепловыделения в единице объема (скорость вы­деления энергии в результате гомогенных химических реакций). Здесь и далее од­ним штрихом обозначены параметры частиц в газе.

Комбинируя уравнения (5.53) и (5.55) между собой и переписывая уравне­ние сохранения количества движения в преобразованном виде можно получить

; (5.57)

; (5.58)

где - сила взаимодействия между двумя фазами в единице объема:

; (5.59)

- количество тепла, которым обмениваются между собой газ и частицы:

; (5.60)

- количество движения, которым обмениваются между собой газ, образую­щийся со скоростью , и газ, находящийся в камере,

. (5.61)

Величина включает энергию, выделяемую при горении и передаваемую за счет теплопроводности.

Основным уравнением, используемым в анализе высокочастотной неустойчи­вости, является нелинейное волновое уравнение для давления, получаемое в ре­зультате комбинации уравнения (5.57) с (5.58):

(5.62)

Как видно из записанных уравнении, в частности (5.62) и (5.57), математически задача очень сложна даже с учетом допущений.

Для случая одномерного течения система уравнений (5.57) и (5.62) записывается в следующем виде:

; (5.63)

. (5.64)

Здесь ; (5.65)

; (5.66)

; (5.67)

, (5.68)

где - массовый приход газа и частиц на единицу длины; - массовый приход газа и частиц с единицы поверхностного горения; П - периметр по­перечного сечения камеры; F - площадь поперечного сечения; - разница между температурой газа в камере и газом, поступающим из зоны горения,

Как видно из (5.66), первые два члена в характеризуют обмен количест­вом движения между продуктами сгорания в камере и газом, который входит (или выходит) через границы.

Заметим, если все процессы в камере изоэнтропические, то представляет собой уменьшение температуры, связанное с неизоэнтропичностью.