3.4.2. Модель с дискретным временем

Примем для начала, что величина х , ..., x стабильна; это делает процесс возникновения погрешностей одномерным процессом с временем в качестве аргумента. При экспериментальном определении функций g(T) и h(T) обобщенная модель может иметь вид:

Z = φ + γ . (3.96)

Здесь φ , γ — постоянные коэффициенты модели, t — время, индекс t нумерует дискретные моменты времени, кратные некоторому постоянному периоду времени ∆T, , i, j — текущие индексы, — сокращенная запись значения переменной (погрешности ∆) в момент t - i∆T, т. е. = =Z(t - i∆T), e — стационарный случайный процесс, описываемый уравнением e = a_t - θ a - ... - θ a , где a_t — белый шум со средним значением, равным нулю, и с постоянной дисперсией σ_a².

Переменная Z_t имеет две составляющие: случайную Z ' и детерминированную — Z_t", при этом

Z_t = Z ' + Z_t", (3.97)

Z ' = φ + e_t (3.98а)

и

Z_t" = γ . (3.986)

Случайная составляющая Z ' соответствует модели случайной погрешности, свойства которой выражает g{ε}, а систематическую погрешность, описываемую функцией h, характеризует переменная Z_t".

На основе экспериментальных данных Z_t в интервале времени можно определить коэффициенты φ , γ . Для демонстрации некоторых особенностей модели рассмотрим разностное уравнение, отвечающее случаю р = 1 (а также r = 1), т. е.

Z_t' = φ Z ' + a - θ . (3.99)

Процесс Z_t' стационарен при условиях

- 1 < φ < 1, - 1 < θ < 1. (3.100)

После умножения уравнения (3.99) на Z_t' и вычисления среднего значения имеем

σ² = φ K (1) + K (-1). (3.101)

Умножив (3.99) последовательно на Z ', a , a и, вычислив средние значения, получим систему уравнений, которая дает

σ² = = K (0), (3.102а)

ρ = K (1)/K (0) = (1 - φ θ )( φ - θ )/(1 + θ ² - 2 φ θ ), (3.1026)

ρ = K (2)/K (0) = φ ρ . (3.102в)

Коэффициенты корреляции можно рассчитать непосредственно по значениям Z_t' для t = l, ..., N. В зависимости от значений коэффициентов дифференциального уравнения коэффициент корреляции уменьшается апериодически либо осциллятивно до нуля по мере увеличения временного сдвига, как показано на рис. 3.17¹.

Рис. 3.17. Характер корреляционной функции временного ряда в зависимости от значений коэффициентов модели

Итог

Вышеприведенную модель свойств погрешности можно трактовать следующим образом. Существует случайная составляющая погрешности, характеризующаяся коррелированным во времени случайным стационарным процессом в период наблюдения Т₀. При этом для t > t коэффициент корреляции имеет нулевое значение. Кроме того, существует детерминированная составляющая, описываемая функциями g(T), h(T). В шкале времени эксплуатации Т случайная составляющая погрешности может истолковываться как белый шум. В шкале времени измерений t необходимо учитывать корреляцию случайной составляющей (цветной шум) и изменение среднего значения погрешности h(T), а также дисперсии g(T). Шкала времени определяется двояко — координатой t, а также координатой Т, причем t T.

Характеристики трехмерных (и более) нестационарных процессов можно определить теми же понятиями по определениям (3.88) —(3.90), соответственно увеличивая число экспериментов либо упрощая модель (3.88), например, принимая g = const.