1.2. Физические шкалы и неоднозначность образов действительности

1.2.1. Неоднозначность отображения

Создавая образы действительности с помощью измерений, мы получаем неоднозначные отображения. Состояние a измеряемой характеристики х отображается в множествах значений области абстракций, а именно:

a  B_a =b , B_a  b . (1.24)

Элементы множества В, поставленные в соответствие состоянию а (если в общем виде ВR), неравнозначны. Можно допустить, что вероятность отображения b=f(a) больше или меньше вероятности b+ = f(a), где  >0. Поэтому выбор элементов множества В, отвечающего состоянию a, определяется мерой р  0.1,такой, что

(1.25а)

или

. (1.25б)

Соответствие (1,24) принимает вид

a  b, p_a(b) , (1.26)

При этом множества В и Р равномощны. Примером соответствия (1.26) служит функция р(b), представленная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Вероятность отображения состояния а в сфере абстракции:

(a) – дискретная функция, (б) – непрерывная.

Соответствие (1.26) имеет то свойство, что к состоянию а, реализованному с вероятностью Р = 1, отнесено множество событий, выраженных условием (1.25а), либо (1.25б). Поэтому для определения измерительной шкалы из множества В_а нужно выбрать только один элемент b*, а именно тот, который лучше всех отображает состояние а. Выбор такого элемента выполняется в соответствии с решением D, таким, что

b* =D(p_a) . (1.27)

1.2.2. Правила выбора элементов

Используются различные решающие правила, но в любом случае правило должно быть известно. Так, например, D₁ определяет, что наилучшим образом состояния а является наиболее вероятное (так называемое модальное) значение b*:

D₁(p_a) = b₁*, такое, что p_a(b₁*) = (1.28а)

Можно использовать иное правило, например выбор среднего значения, т.е.

D₂(p_a) = b₂*, такого, что (1.28б)

либо ,

либо правило медианы:

D₃(p_a) = b₃ , причём p_a(b₃) = 1/2 , (1.28в)

такое, что р_а(b  b₃^*)  ½, либо р_а(b  b₃^*)  ½. Значения b₁^*, b₂^*, . . , вообще говоря, различны, хотя в некоторых случаях могут быть одинаковыми. Так, например, для симметричной функции р_а(b) имеем b₁^* = b₂^*. Точка b^* входит в множество В, b^*  В, но она может не быть точкой множества В_а.

1.2.3. Критерии соответствия отображений

Выбор значения b^* как образа состояния а правилен, если между этими элементами существует соответствие

b^* = f(a), (1.29)

а также обратное отображение в окрестности образа b^*

а^* = f ^*-1( b^*), (1.30)

причем f ^*-1 является оператором (или функцией) обратного отображения. Символом * обозначаются отображения, создающие физические шкалы, для отличия их от постулированных математических шкал (1.2).

Другой существенной особенностью операции отображения f ^*, а также f ^*-1 является то, что они должны быть определены не только для состояния а или значения b^*, но и в окрестности этого состояния или значения. Обозначив отклонение состояния a символом и, распределение области отображения можно записать следующим образом:

b^* + v = f ^*(a+ и), (1.31)

где v — отклонение от точки b^*. Обратное отображение принимает вид

a^*+ и = f ^*-1(b^*+v). (1.32)

Существование обратного отображения в окрестности образов имеет место для аддитивных величин, измеряемых в метрической шкале. В случае аддитивных шкал имеем:

b^*+v = f ^*(a + и) = f ^*(a) + f ^*(и), (1.33)

откуда с учетом (1.29) получаем выражение

v = f^*(и) (1.34а)

а также

и = f ^*-1(v) . (1.34б)

Свойство (1.33) означает, что измерительная функция f ^* (оператор отображения) для случая метрических шкал является линейным оператором.