1. Розподільна властивість ділення відносно суми. Щоб подиити суму на число, досить поділити на це число кожний доданок і добуті результати додати:

(а + b }: с = а : с + b: с. (1)

Доведения. Якщо рівність (1) правильна, то за означениям дії ділення має бути:

а + b = (а: с + b: с) • с = (за розподільним законом множення);

= (а: с) • с + (b: с) • с = а + b (за властивістю ділення, як дії, оберненої множенню).

Цю властивість можна поширити на будь-яке число доданків:

( а₁ + а₂ + …а _n ) : b = а₁ : b + а₂ : b + …а _n : b

Розподільна властивість дуже важлива: вона є теоретичною ос­новою алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

У початкових класах розподільну властивість розкривають на конкретних задачах.

3 а д а ч а. В одному сувої 12 м тканини, а в другому 15 м. 3 цієї тканини пошили плаття, витрачаючи на кожне по Зм. Скільки платтів пошили?

Розв'язують задачу двома способами, дістаючи при цьому різні, але еквівалентні між собою числові формули розв'язку:

1-й спосіб 2-й спосіб

х = (12 + 15): 3. х= 12:3+15:3.

В и с н о в о к. (12 + 15) : 3 = 12 : 3 + 15 : 3.

2. Розподільна властивість ділення відносно різниці. Щоб поділити різницю на число, досить поділити на це число зменшуване і від'ємник і від першого результату відняти другий:

(а — b): с = а : с — b:с.

З. Ділення добутку на число. Щоб поділити добуток на число, досить поділити на це число один із співмножників і результат помножити на другий співмножник:

(а • b): с = (а: с) • b = (b: с) • а.

Доведемо, наприклад, що (а • b): с = (а: с) • b . Якщо ця рівність правильна, то за означениям ділення а • b = ((а : с) • b) • с = ((а : с) • с) • b = а • b.

4. Ділення числа на добуток. Щоб поділити деяке число на добуток, досить поділити це число на один із співмножників і знайдену частку поділити на другий співмножник::

а : ( b • с) = (а : b) : с) =(а : с ) : b .

На цій властивості грунтується послідовне ділення при усних обчисленнях:

126 : 18 = 126 : (2 • 9) = (126: 2) : 9 == 63 : 9 == 7.

5. Ділення частки на число. Читаючи рівність попереднього правила справа наліво, можна зробити висновок: щоб поділити частку на число, досить поділити на це число ділене, а знайдений результат поділити на дільник, або помножити дільник на це число, а потім ділене поділи­ти на одержаний добуток.

Наприклад, а) (180:5):18 = (180:18):5 = 10:5 = 2

б) (180:5):4=180:(5•4)=180:20=9

6. Ділення числа на частку. Щоб поділити деяке число а на частку від ділення двох чисел, досить поділити це число на ділене і резуль­тат помножити на дільник: а : (b : с) =(а: b )• с.

Доведемо цю властивість. За означенням ділення

a = ((a : b ) • c ) • ( b : c ) = ( a : b ) •((b : c ) • c ) = ( a : b ) • b = a

Дія ділення з нулем. Поширюючи означення ділення на випадок, коли ділене нуль, ма'мо 0 : а = 0, оскільки 0 = 0 • а =0.

Дія а : 0 неможлива, оскільки немає такого числа с,щоб виконувалась умова а = с • 0, коли

а  0 (ліва частина а  0, а права — с • 0=0).

Дія 0 : 0 невизначена, оскільки будь-яке число с задовольняе умову 0 = с • 0, отже, 0 : 0 може бути будь-яким числом (у початкових. класах цей випадок не розглядають).

ВПРАВИ

а) Підібрати у підручнику для третього класу задачі такого змісту:

(72 • 24): 12 = (72: 12) • 24 = 6 • 24 = 144;

(72 • 24): 12 = (24: 12) • 72 = 2 • 72 = 144,

б) Зробити рисунок до задачі; «Як зменшити площу прямокутної ділянки вдвоє, не змінюючи її довжини? не змінюючи її ширини?»

с) Підібрати за підручником і скласти самостійно приклади на за-стосування властивостей дії ділення.

1. Підібрати за підручником другого класу три задачі різного виду на ділення. Дати ілюстрації до них.

2. Скласти задачу на ділення на рівні частини і переробити її так, щоб дістати ще дві задачі: на ділення на вмщення і на зменшення числа у кілька разів. Дати ілюстрації до них.

3. Скласти задачу на ділення і переробити її так, щоб дістати ще дві обернені до неї задачі. Відшукати у підручнику другого класу пару взаємно обернених задач, за допомогою яких вводиться поняття задачі, оберненої даній.

4. Скласти задачу на ділення у непрямій формі за таким зразком: «Учні третього класу посадили 26 дерев. Скільки дерев посадили учні другого класу, якщо третій клас посадив у два рази більше дерев, ніж другий?» Знайти у шкільних підручниках для другого і третьего класів задачі такого виду.

5. Обчислити найбільш раціональними способами, застосовуючи правила ді­лення суми чи різниці на число або добутку чи частки:

1) (8866+4477): 11; 3) (36 •15): 9; 5) (918 : 51): 9. 7) (696 : 3): 8;

2) (11022 — 2244) : 11 4) (750 : 5): 2; 6) (4518 + 6381): 9;

6. Обчислити найбільш раціональним способом, застосовуючи правила ділення числа на добуток або на частку:

а) 714:21; б) 515:(5:8).

7. 315 : 5 = 315 : (10 : 2) == (315 • 2) : 10 =630 : 10 = 63. Скласти за таким аразком приклад на ділення числа на 25.

8. При якому значенні с буде істинним твердження с: (245—87) •341= О?