§ 7. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел. Ділення з остачею.

Якщо дано деяке ціле невід'ємне число а і натуральне число b, то, як відомо, можливі два випадки:

1) а ділиться на b, або а кратне b. Це записують так:

а b, або а = b q, де q N₀

2) а не ділиться на b. Записують а не b. Це означае, що при діленні а на b залишається остача, що недорівнює нулю і менша за дільник a : b = b q + r, 0 < r < b.

У першому випадку ще говорять, що b ділить а, а у другому — що b не ділить а. Наприклад:

а) 12 : 4, бо 12=4  3; б) 18 не 4, бо 18=4  4+2.

Властивості відношення подільності.

а) Рефлексивність: будь-яке натуральне число ділиться само на се­бе, тобто

(а  ) а а . Справді, а а = 1, бо а = 1 а

б) Транзитивність: (а b)  (b с)  а с. Справді, а b => а = b q₁ , де q₁ N₀

b c  b = c q₂, де q₂ N₀

a = b q₁ = c q₁ q₂ =c t, де t N₀

Отже, а с.

Наприклад, 84 42  42 6 => 84 6. Справді, 84 = 42  2 = 6  7  2 = 6  14.

в) Антисиметричність: (a,bN) (a b  b a )=> b=a. Наприклад, 10 5, але 5 не 10. Якщо 10 а  a 10, то а = 10,

Таким чином, відношення подільносп на множині цілих невід'ємних чисел не є відношенням еквівалентності, бо не виконується властивість симетричності.

Ділення з остачею. Ділення з остачею розглядається ще в початкових класах. Наприклад,

21 : 4 =5 (1 остача). Тоді 21 = 5  4 +1 (1<4).

Учні повинні добре усвідомити, що при діленні в стовпчик щоразу у частці треба брати таке число, щоб остача залишалася меншою від дільника. Адже в цьому прикладі ділене 21 можна було б зобразити інакше: 21= 4  4 + 5, але 5 > 4, або 21=4  3 + 9, але 9 > 4.

В обох цих випадках взято частку меншу, ніж вона буде насправді. Внаслідок такого ділення можна допустати помилки, які з учнями слід з'ясувати, розглянувши, наприклад, жарт «Як ділив Незнайко, не знаючи таблиці множення»:

63|7 81

-56 81 *7

-7 56

7 +7

0 63

Коли Незнайкові заперечили, що такого бути не може, щоб 63 поділити на 7 і одержати число 81>63, він почав перевіряти ділення множенням. 3'ясування з учнями подібних помилок сприяє глибокому усвідомленню суті дій ділення і множення. Те, що в остачі залишилося 7, свідчить, що частка буде не 8, а 9, бо остача 7 ділиться на 7, буде ще по 1 (8+1, а не 81).

Досить поширеними є учнівські помилки при діленні з остачею та­кого роду:

_51|5_

5_ 1

1 (остача) (!)

Тут частку взято неправильно. При усному діленні учень школи не зробить такої помилки, бо на основі таблиці множення запише:

51 = 10  5 + 1. Справді, в частці буде не 1, а 10, бо ділимо 5 десятків на 5, отже, дістанемо 1 десяток. Учні молодших класів допускають помилки при діленні з остачею у випадку, коли за основною властивістю частки у діленому і дільнику «відкидають» однакову кількість нулів. Наприклад,

_57000 | 28000

56. 2

1 (остача) (!) Перевіркою легко показати, що дія виконана неправильно:57000 28000  2+1

Якщо зменшити ділене і дільник в 1000 разів, відкинувши по 3 нулі, то частка від цього не зміниться (2), але остача зменшиться в 1000 разів, бо зведено до ділення тисяч:

57 тис. : 28 тис. = 2 ( 1тис. в остачі).

Отже, до одержаної остачі потрібно приписати три нулі (стільки нулів, по скільки їх закреслили в діленому і в дільнику).

Ділення без остачі і з остачею можна узагальнити такою теоремою.

Теорема 1 (про існування і єдиністъ частки і остачі).

Які б не були ціле невід'ємне число а і натуральне число b, існує, і причому єдина пара цілих невід'ємних чисел q (частка) i r (остача) таких, що:

a = bq + r  0  r <b

вправи

1. З образити граф відношення «а ділиться на б» на множині М = {3; 9; 18; 27; 36}.

Що означає петля в кожній вершині графа? Чому стрілки на графі ведуть лише в одному напрямі? В чому виявляється на графі виконання властивості транзитивності?

2. Побудувати граф відношення «а ділиться на b» на множині М = (2; 6; 12; 14; 24} і відношення "b ділить а" і зіставити між собою ці два графи. Що у них спіль-ного? Ч им вони відрізняються?

3. Записати у вигляді рівностей такі твердження:

а) 34 при діленні на 6 дає остачу 4;

б) 96 поділити на 8 буде 10 і 16 в остачі;

в) 56 ділиться на 8;

г) 56 поділити на 8.

Які з цих тверджень є висловленнями? Які з них істинні, яі хибні?

4. Виправити помилки, якщо вони є:

а) 52 000 - 17 000 = 52 : 17 = 3 (1 ост.);

б) 372 : 37 = 1 (2 ост.);

в) 3673 : 36 = 12 ( 1 ост.)

г) 421 : 10 = 42 + 1