§ 6. Ділення на множині цілих невід'ємних чисел

Н

1. Дано множину В що є власною підмножиною множини А. Визначити, скільки всіх підмножин без спільних елементів, еквівалентних В, має множина А.

Розглянемо задачу, яку розв'язують у другому класі: «Скільки треба тарілок, щоб розкласти на них 10 яблук по 5 яблук на кожну тарілку?»

а практиці часто доводиться розв'язувати такі задачі:

Т

2. Скінченну множину а розбити на певне число еквівалентних між собою підмножин. Потрібно визначити потужнють цих підмножин.

Розглянемо задачу, яку розв'язують у другому класі:

«10 яблук. розкласти на дві тарілки порівну. По скільки яблук буде в кожній тарілці?»

акого виду задачі називаються «задачами на дідення на вміщення»

Такі задачі називають «задачами на ділення на рівні частини».

Обидві ці задачі ведуть до подання скінченної множинн А у вигляді суми деяких інших еквівалентних між собою множин:

A = B₁  B₂ … B_{C ,} B₁ ~ B₂ ~…~ B_C  B_i  B_j =, i, j = 1,2,…c

с доданків

Перехід до характеристики чисельності цих множин приводить до поняття нової арифметичної дії —ділення натуральних чисел.

а) Число а потрібно представили у вигляді суми с однакових до­данків, величину яких треба знайти, тобто

а= х + х + … + х, або а == х • с.

с доданків.

б) Число а треба представити у вигляді суми кількох доданків, кожен із яких b. Визначити кількість цих доданків.

а = b + b + b …+ b, або а = b • х.

х доданків

Отже, в обох випадках задача зводиться до знаходження одного із співмножників за відомими добутком і другим співмножником.

Таким чином, ділення натуральних чисел є дія, обернена множенню. В першому випадку записують х = а : с, у другому х = а : b.

Означення. Поділити натуральне число а на натуральне число b — це означає знайти таке натурально число с, щоб задовольнялася умова а = с • b.

Число а називають діленим, b — дільником, с — чисткою. Запи­сують це так: а : b = с, або а / b = с. із означення видно, що ділене дорівнює частці, помноженій на дільник.

Те, що дія ділення є оберненою до дії множення, можна проілюструвати рівностями, які використовуються ще в другому класі;

а) (а: b) • b = а; б) (а • b): b = а.

Д о в е де н н я. а) Безпосередньо із означення частки маємо:

а : b = с. Звідси а = с b, або а =( а : b ) • b

б) Рівність (а • b): b = а перевіряється безпосередньо за означенням ділення: ділене аb дорівнює частці а, помноженій на дільник b, тобто а b = а b.

Теорема 1 (про існування частки в множині цілих невід'ємних чисел). Необхідною і достатньою умовою існування частки с від ділення натурального числа а на натуральне число b є кратність діленого а дільнику b.

Доведения. а) Достатність. Якщо а кратне b, то а є добутком якогось натурального числа, напрйклад, с на b, тобто а = с • b. Це число с (за означениям) і буде часткою від ділення а на b.

б) Необхідність. Якщо частка с існує, то а = с • b, звідки видно, що ділене а — кратне дільника b.

Отже, дія ділення, як і дія віднімання, у множині натуральних чисел виконується не завжди, тоді як дія додавання і множення виконуються завжди. Отже, множина натуральних чисел є замкненою відносно дії додавання і дії множення і незамкненою відносно дії від­німання і дії ділення.

Теорема 2. Якщо частка с від ділення натурального числа а на на­туральне число b існує, то вона едина.

Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що існують дві частки с і с', тобто а : b = с і а : b = с'. Нехай, наприклад, с>с'. Тоді (згідно з означениям) а = cb і а= с'b звідки cb = с'b де с > с'. Проте це суперечить властивості монотонності дії множення натуральних чисел. Отже, наше припущення , що існують два різних числа с і с', які є частками від ділення а на b, неправидьне. Теорему доведено.

Із означення а • 1 = а випливае, що:

а) частка від ділення натурального числа а на 1 дорівнює числу а, тобто а : 1= а;

б) частка від ділення натурального числа а самого на себе дорівнює 1, тобто а:а=1.

На основі означення дії ділення та властивостей множення нату­ральних чисел неважко встановити правила ділення суми, різниці, добутку і частки на число та ділення числа на добуток і на частку.