§ 4. Віднімання цілих невід'ємних чисел. Зв'язок віднімання з додаванням

Розглянемо дві множини А і В, потужності яких відповідно а і b, причому В А.

Означення 1. Різницею натуральних чисел а і b називається нату­ральне число с, яке характеризує множину С, що є різницею множини А і власної її під множини В.

Знаходження за даними двома числами а і b їх різниці с називаєть­ся відніманням: а—b = с. Число а називається зменшуваним, b — від'ємником.

Із означення випливає, що різниця натуральних чисел а і Ь існує тоді і лише тоді, коли множина В є власною підмножиною множини А, тобто коли а > b.

Означення 2. Множина називається замкненою відносно якоїсь дії, якщо ця дія у даній множині завжди виконується (тобто результат дії належить цій же множині), і незамкненою, якщо ця дія у даній мно­жині виконується не завжди.

Множина натуральних чисел є замкненою відносно дії додавання і незамкненою відносно дії віднімання: сума двох натуральних чисел завжди є натуральне число, а різниця буде натуральним числом лише при умові, коли зменшуване більше від від'ємника. Оскільки А \ А = , то а—а = 0, тобто якщо зменшуване дорівнює від'ємнику, то різниця дорівнює нулю.

Я к ми уже ілюстрували за допомогою кругів Ейлера, якщо B A, різниця А \ В = С є доповненням множини В до А: С = В_А, тобто А = В С.

Отже, якщо а — b = с, то а = b + с, тобто віднімання є дія, обер­нена додаванню: дія, яка полягав в знаходженні невідомого доданка за відомою сумою і другим доданком: х + b = а, х = а — b.

Отже, відняти від натурального числа а натуральне число b озна­чає знайти таке натуральне число с, щоб виконувалася умова а = с+ b.

Із сказаного видно, що дія додавання на множині N натуральних чисел є алгебраїчною операцією, а дія віднімання не є алгебраїчною операцією на множині N.

Теорема. Які б не були натуральні числа а і b такі, що b <і а, іс­нує єдине натуральне число с, що е різницею чисел а і. b.

Отже, треба довести, що не може існувати ніякого іншого числа с, яке є різницею а — b.

Доведення. Як було вже з'ясовано, при умові а > b різниця а—b завжди існує. Припустимо, що існують дві різниці: а—b= с і а — b = с'. Нехай, наприклад, для означеності с < с'. Тоді а = с+b і а=с'+b, отже, с + b = с' +b, де с' < с. А це супере­чить властивості монотонності суми. Отже, наше припущення непра­вильне. Тому існує єдине натуральне число с, що є різницею натуральних чисел а і b.

Зв'язок дії віднімання з додаванням уже в підручнику для першого класу використовується в такій формі:

а)(а — b) + b = а. Наприклад, (62 — 48) + 48 = 62 (результат 62 записуємо, не виконуючи обчислень).

б) {а + b) — b = a Наприклад, (27 + 38) — 38 = 27 (результат записуємо, не виконуючи обчислень).

Ці рівності яскраво ілюструють, що дія віднімання є оберненою до дії додавання. Їх легко довести на основі означення віднімання ( або за допомогою кругів Ейлера).

Доведення, а) Якщо від скінченної множини А відняти її власну підмножину — множину В, а потім додати цю ж підмножину В, то дістанемо знову множину А. При .переході до характеристики чи­сельності множин (а —b) +b = а.

б) Якщо до скінченної множини A додати множину В, а потім від­няти цю саму множину В, то залишиться множина А. При переході до характеристики чисельності множин (а + b) — b = а.

Аналогічно на основі означення віднімання доводяться і такі пра­вила: