12.6 Принятие решений перед планированием эксперимента

Перед планированием выбирают подобласть первого эксперимента. В задачах интерполяции определяется область факторного пространства, для которой интересно знать поведение объекта у =f(x₁,x₂,…,x_n). Для задач оптимизации подобласть выбирается исходя из априорной информации.

Выбор подобласти включает в себя две процедуры: выбор основного уровня, выбор интервалов варьирования для каждого фактора.

Основной уровень является исходной точкой для построения плана эксперимента по каждому фактору. В задачах интерполяции основной уровень соответствует центру области факторного пространства. Интервал варьирования - это некоторое число, свое для каждого фактора, которое будучи прибавленным к основному уровню, дает верхний уровень варьирования фактором, а будучи вычтенным из нулевого уровня, дает нижний уровень варьирования.

Для удобства записи условий эксперимента, обработки результатов опыта, а также для сравнительного анализа степени влияния факторов на целевую функцию применяют процедуру кодирования факторов. Кодированное значение фактора определяется по формуле

где , - натуральное значение фактора j; . - натуральное значение этого фактора на нулевом уровне; I_j – интервал варьирования фактором j.

При выборе основного уровня и интервалов варьирования нужно принимать во внимание следующее ограничение: интервал варьирования не должен быть больше "расстояния" от основного уровня этого фактора до границы области его определения.

12.7 Полный факторный эксперимент типа " 2k"

(метод Бокса-Уилсона)

В соответствии с этим методом каждый фактор варьируется в эксперименте только на двух уровнях (верхнем и нижнем). Общее число опытов в эксперименте равно N = 2^k, где k- число факторов; 2 - число уровней варьирования.

Для удобства записи кодированные значения факторов, которые будут принимать величины "+1" и "-1", заменяются просто на "'+" и "-". С целью удобства записи эксперимента и обработки экспериментальных данных используют матрицы планирования эксперимента. Они состоят из вектор-строк и вектор-столбцов. Каждая вектор-строка определяет условие проведения того или иного опыта. Вектор-столбец соответствует значениям какого-либо фактора. Условия двухфакторного эксперимента геометрически интерпретируются вершинами квадрата (рис. 6). Соответствующая матрица планирования будет иметь следующий вид:

№	x1	x2	y
1 2 3 4	+ + - -	+ - - +	y11 y12 y13 y14	y21 y22 y23 y24

Ч тобы провести оценку погрешности эксперимента и адекватности полученной модели объекта, необходимо провести параллельные опыты для проверки их на воспроизводимость.

Графической иллюстрацией условий проведения трехфакторного эксперимента является куб (рис. 7).

Матрица планирования для трехфакторного эксперимента может быть представлена в виде:

№	x1	x2	x3	y
1	+	-	+	y11	y21	y31
2	-	-	+	y12	y22	y32
3	-	+	+	y13	y23	y33
4	+	+	+	y14	y24	y34
5	+	-	-	y15	y25	y35
6	+	+	-	y16	y26	y36
7 8	- -	+ -	- -	y17 y18	y27 y28	y37 y38

Рис. 7 Графическая интерпретация трехфакторного эксперимента

Для случая четырех и более факторов графической интерпретацией эксперимента является некий гиперкуб, для построения которого нам недостает навыков. В этом случае для построения матрицы рекомендуется пользоваться правилами построения матрицы планирования.

Основные правила построения матриц планирования эксперимента следующие:

• Способ достройки матрицы. При добавлении нового фактора исходный план повторяется дважды: один раз с новым фактором на верхнем уровне, а второй раз - на нижнем.

• Правило перемножения столбцов. При добавлении нового фактора его уровень определяется путем перемножения вектор-столбцов. Исходный план повторяется дважды: первый раз значение нового фактора получается в результате перемножения факторов каждой строки, второй раз - после перемножения знак меняется на противоположный.

• Изменение знаков в вектор-столбцах по степеням числа 2:

• в первом столбце через 2⁰ = 1;

• во втором столбце через 2¹ = 2;

• в третьем столбце через 2² = 4 и т.д.

Полный многофакторный эксперимент обладает следующими основными свойствами:

• Свойство ортогональности: точность предсказания значений целевой функции не зависит от направления в факторном пространстве и от расстояния до нулевого уровня. Это свойство полностью отражено в свойствах матрицы планирования.

• Свойство симметрии: сумма членов каждого вектор-столбцаравно нулю:

• Свойство нормировки: сумма квадратов членов каждого вектор-столбца равна числу опытов: .

• Свойство ротабелъности: алгебраическая сумма произведений членов любых вектор-столбцов равна нулю: .

После проведения опытов и статистической оценки полученных результатов вычисляют коэффициенты модели. Процедура вычисления коэффициентов базируется на методе наименьших квадратов. Коэффициенты линейной модели вычисляются по следующей формуле

где - среднее значение целевой функции в i-ом опыте.

Коэффициент b₀определяют путем осреднения значений у, во всех опытах, т.е.

Для формализации процедуры определения коэффициента b₀ в матрицу вводится вектор-столбец х₀, состоящий из одних "+".

При решении задач оптимизации стремятся использовать линейную модель объекта, так как она требует меньшего числа опытов для определения ее коэффициентов, и вполне определенно указывает направление к оптимуму.

В задачах интерполяции основной целью является достаточно адекватное описание объекта в некоторой области. И в задачах оптимизации и в задачах интерполяции линейная модель может оказаться неадекватной.

Нелинейность обычно зависит от того, что целевая функция определяется еще и взаимодействием факторов, т.е. влияние одного из факторов на целевую функцию зависит от того, на каком уровне находится некоторый другой фактор.

Полный факторный эксперимент позволяет оценить степень влияния самых различных взаимодействий. Для этого пользуются правилом перемножения вектор-столбцов

Величина коэффициента с учетом его знака указывает на степень влияния и "направление" того или иного фактора или взаимодействия на целевую функцию.

Порядок взаимодействия определяется по числу факторов взаимодействия минус единица. Так, взаимодействие двух факторов есть взаимодействие первого порядка. Априори можно утверждать, что чем выше порядок взаимодействия, тем менее оно значимо (тем меньше соответствующий коэффициент). Однако, это утверждение не является абсолютным, и на практике нередки случаи, когда взаимодействие более высокого порядка сказывается более значимым, чем взаимодействие низшего уровня.

Число тех или иных взаимодействий можно определить по формуле сочетаний

где k- общее число факторов; m- число факторов во взаимодействии.