12.10 Проведение эксперимента. Статистическая оценка его результатов

Перед началом эксперимента требуется строго сформулировать цель исследования (задача интерполяции или оптимизации), определить все значимые факторы, а также один единственный параметр оптимизации (целевую функцию). Затем ограничивают область факторного пространства, проектируют экспериментальную установку, калибруют приборы, планируют эксперимент. С целью исключения систематической погрешности (например, влияние климатических условий), опыты эксперимента проводят в случайной последовательности (например, в соответствии с таблицей случайных чисел). Такой подход называют рандомизацией (англ. "random" - случай). При проведении опытов необходимо предусмотреть возможность статистической оценки результатов. Результаты не обсуждаются, пока не известна их погрешность и доверительная вероятность ее определения. Для этого все опыты проводятся не менее двух раз.

Затем определяют статистическую однородность результатов каждого опыта. Для этого находят экстремальное значение целевой функции y_э,i, в наибольшей мере отличающееся от соответствующего среднего ее значения, и определяют r- величину критерия:

(3.1)

где - среднеквадратичное отклонение целевой функции в параллельных измерениях i-го опыта; j=1,..., п-число параллельных опытов; i=1,...,N- число независимых опытов матрицы планирования.

Если расчетное значение критерия rбольше табличного критерия Стьюдента, то y_эi - грубая ошибка.

Значимость расхождения двух средних значений также оценивается по критерию Стьюдента

где n_max - число опытов для определения ; n_min- число опытов для определения .

Затем определяется дисперсия целевой функции по формуле

Указанную формулу (3.3) можно использовать только при одинаковом числе параллельных опытов. Если n_i≠const, то дисперсия определится как

где f_i- число степеней свободы i-го опыта, причем f_i=n_i-1.

Формулы (3.3) и (3.4) можно применять только при однородных дисперсиях всех опытов. В однородности дисперсий опытов в эксперименте можно убедиться, используя критерий Фишера F: .

Если полученное расчетное значение этого критерия больше табличного, то дисперсии неоднородны и требуется устранить причину неоднородности. После проведения этих оценок проводится построение математической модели объекта в виде у=b₀+b₁x₁+b₂x₂ +b₁₂x₁x₂+...., причем

Затем выполняется оценка адекватности полученной математической модели путем сравнения дисперсии адекватности с дисперсией целевой функции.

Если отношение дисперсий, условно принимаемое за расчетное значение критерия Фишера, меньше табличного критерия, то модель признается адекватной (F_pacч>F_табл).

Дисперсия адекватности определяет степень рассеяния экспериментальных результатов относительно расчетных и вычисляется по формуле:

где f - число степеней свободы дисперсии адекватности, которая определяется как число независимых за минусом числа значимых коэффициентов модели. Для случая линейной модели f= N - (k +1), где k- число факторов; к+1 - число коэффициентов линейной модели.

На следующем этапе выполняется оценка значимости коэффициентов модели. Оценка значимости может быть проведена двумя методами:

• по доверительному интервалу: ∆b_j= ± tσ_bj, где t– критерий Стьюдента; –среднеквадратичное отклонение (стандарт) коэффициента модели;

• по критерию Стьюдента: . Если расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного, то коэффициент b_j более значим. Члены полинома, которые имеют незначимые коэффициенты, могут быть отброшены, что приводит к упрощению модели. После проверки адекватности модели она может быть использована для прогнозирования значений целевой функции и поиска оптимальных условий.