1.2 Объём тела
Начнём
с почти очевидного замечания: прямой
цилиндр высоты H, основанием которого
служит квадрируемая плоская фигура
(P), имеет объём, равный произведению
площади основания на высоту: 
.
Возьмём
многоугольники 
и 
,
соответственно содержащиеся в (P),
так, чтобы их площади 
и 
стремились
к P .
Если на этих многоугольниках построить
прямые призмы 
и 
высоты H,
то их объёмы 
и 
будут
стремиться к общему пределу
,
который и будет объёмом нашего цилиндра
Рассмотрим
теперь некоторое тело (V),
содержащееся между плоскостями
и
,
и станем рассекать его плоскостями,
перпендикулярными к оси x (чертёж
7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения
квадрируемы, и пусть площадь сечения,
отвечающего абсциссе x,
- обозначим её через P(x) –
будет непрерывной функцией от x (для 
).
Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.
В
этом предположении можно утверждать,
что тело имеет объём, который выражается
формулой 
.
(5)
Для
доказательства разобьём отрезок
на
оси x точками
на
части и разложим плоскостями 
,
проведёнными через точки деления, всё
тело на слои.
Рассмотрим i-й
слой, содержащийся между
плоскостями
и 
(i=0,1,…,n-1).
В промежутке 
функция P(x)
имеет наибольшее значение
и 
.
Если сечения, отвечающие различным
значениям x в
этом промежутке, поместить на одну
плоскость, скажем,
,
то все они при сделанном предположении
будут содержаться в наибольшем, имеющем
площадь
,
и содержать в себе наименьшее, с
площадью
.
Если на этих, наибольшем и наименьшем,
сечениях построить прямые цилиндры
высоты 
,
то больший из них будет содержать в себе
рассматриваемый слой нашего тела, а
меньший сам будет содержаться в этом
слое. На основании сделанного вначале
замечания объёмы этих цилиндров будут,
соответственно, 
и 
.
Из
входящих цилиндров составится тело
(T),
а из выходящих – тело (U).
Их объёмы равны, соответственно, 
и 
и,
когда стремится к нулю 
,
имеют общий предел (5). Значит таков же
будет и объём тела(V).
Важный
частный случай, когда заведомо выполняется
указанное выше предположение о взаимном
расположении сечений, представляют тела
вращения.
Вообразим на плоскости xyкривую,
заданную уравнением 
,
где 
непрерывна
и неотрицательна. Станем вращать
ограниченную её криволинейную трапецию
вокруг оси x(чертёж
9а и 9б). Полученное тело (V),
очевидно, подходит под рассматриваемый
случай, ибо сечения его проектируются
на перпендикулярную к оси x плоскость
в виде концентрических кругов. Здесь 
,
так что
.
Если криволинейная трапеция ограничена (чертёж 9)
и
сверху и снизу кривыми 
и 
,
то очевидно,
,
(7)
Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (V) имеет объём, то он выражается формулой (6).
Примеры:
1). Пусть эллипс 
вращается
вокруг оси x.
Так как 
,
то для объёма эллипсоида вращения найдём
.
Аналогично
для объёма тела, полученного от вращения
вокруг оси y,
найдём выражение 
.
Предполагая же в этих формулах 
,
мы получим для объёма щара радиусаr известное
значение 
.
2).
То же – для ветви циклоиды
, 
(
).
Параметрическое уравнение кривой
облегчают выполнение подстановки
, 
в
формуле 
.
Именно:
.
3).
Найти объём трёхосного эллипсоида,
заданного каноническим уравнением 
(чертёж
10).
Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M(x) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yzбудет таково: (чертёж 10).
,
(x=const).
Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,
и 
,
а
площадь выразится так: 
.
Таким
образом, по формуле (5) искомый объём 
.