1.6 Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру   (чертёж 14), ограниченную сверху кривой AB, которая задана явным уравнением  . Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что (чертёж 14) поверхностная площадь их   (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Можно принять, что  =1, т.е. что масса любой части нашей фигуры измеряется её площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Чтобы определить статические моменты   и   этой фигуры относительно осей координат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. чертёж). Приняв эту полоску приближённо за прямоугольник, видим, что масса её (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет  . Для определения соответствующих элементарных моментов   и   предположим всю массу полоски сосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси x на расстоянии  , от оси y – на расстоянии  ; последнее выражение можно заменить просто через x, ибо отброшенная величина  , умноженная на массу  , дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем  ,  . Просуммировав эти элементарные моменты, придём к результатам

,  , (14)

причём под y разумеется функция  .

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты  ,   центра тяжести фигуры. Если через P обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

,  , откуда

,  . (15)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты   центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем  .

Правая часть этого равенства выражает объём V тела, полученного от вращения плоской фигуры   около оси x (формула 6:  ), левая же часть выражает произведение площади этой фигуры P на   - длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:

Объём тела вращения плоской фигуры около не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:  .

Заметим, что формулы (14),(15) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (чертёж 2). Например, для этого случая ,  . (14а)

Если вспомнить формулу (2), то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

Примеры:

1). Найти статические моменты  ,   и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой  , осью x и ординатой, соответствующей абсциссе x. Так как  , то по формулам (14) 

,  .

С другой стороны, площадь (по формуле 1)  .

В таком случае, по формулам (15),  ,.

Пользуясь значениями   и  , легко найти – по теореме Гульдина – объём тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть  , то искомый объём будет  .

2). Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды  ,   и осью x . Воспользовавшись п.1.1. 4) и п.1.2. 2), по теореме Гульдина легко установить  . По симметрии  .