4. Поверхностные интегралы

 

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением

 

Пусть поверхность   задана явным уравнением  , причём   изменяются в квадрируемой области   на плоскости  , и   в этой области имеет непрерывные частные производные   и  . Разложим область   с помощью сетки кривых на элементы  . Рассмотрим  .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси  , то она вырежет на поверхности   элемент . Элемент   соответствует элементу  . Точка   соответствует точке  , где  . Проведём в точке   касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру  , площадь которой   служит приближением к площади элемента  . Сумму   можно считать приближением к площади поверхности  . Площадь   при стремящихся к нулю диаметров всех элементов   или  . Отсюда  , где   - угол нормали к поверхности с осью  . Если   удовлетворяет точке  , то для площадей плоских фигур  и   имеем  , откуда  . Получаем интегральную сумму  . Исходя из того, что  , площадь  .

 

4.2 Площадь поверхности в общем случае

Рассмотрим простую гладкую поверхность  , заданную параметрически. Для каждой точки   поверхности явное уравнение   заменяется явным же уравнением   или  . Отсюда следует, что вся поверхность   разлагается на конечное число кусков  . Вычислим площадь  .  .  .

Замечание: Перейдём от параметров   с областью изменения   к параметрам   с областью изменения   по формулам  ,  . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями  ,  ,  . Обозначим  ,  ,   - так называемые гауссовы коэффициенты. Так как  , то  .

Выражение   называют элементом площади в криволинейных координатах.

Пример: Найти площадь частей сферической поверхности  , вырезанных из неё цилиндром  .

Решение.  ,  ,  , тогда  , причём областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью  .

В полярных координатах получим  . Проинтегрировав, получим  .

В сферических координатах, так как  ,  ,  , то  .

 

 

5. Тройной интеграл

 

5.1 Масса тела. Объём

Пусть дано некоторое тело  , заполненное массами, и в каждой точке   известна плотность   распределения этих масс. Требуется определить всю массу   тела.

Разложим тело   на ряд частей:  . Точка  . Пусть в пределах части   плотность постоянна и равна   в выбранной точке. Тогда масса  , масса всего тела  . Если диаметры   всех частей стремятся к нулю, то   или  . Последнее выражение называется тройным интегралом.

Пусть дана функция   в данном теле  .

Если функция  , то  , где   есть объём данного тела

. Вычисление тройного интеграла можно выполнить с помощью трёх последовательных простых интегрирований.

Пример:

1). Вычислить интеграл  , распространённый на тетраэдр  , ограничиваемый плоскостями  ,  ,   и  (чертёж ). Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных

, отсюда

.

Итак,  .

 

 

5.2 Замена переменной в тройном интеграле

Если функция   и функции   непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, и якобиан  , то  .

Частные случаи:

1). Цилиндрические координаты

,  ,  .

.

Пример: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью  .

,  , пределы интегрирования  .

.

2). Сферические координаты

,  ,

.

Пример: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью

, пределы интегрирования 

.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели основные виды интегралов и их вычисление, а также их применение к решению прикладных задач. С помощью теории интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных различными кривыми, объёмов, ограниченных различными поверхностями, в том числе нахождение площадей и объёмов тел вращения. А также описано нахождение длины дуги заданной кривой на данном отрезке. Представлены некоторые механические приложения для определённого и двойного интегралов: нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, плоской и объёмной фигур, массы тела. Приведены физические приложения, например, нахождение механической работы, работы силового поля, рассмотрение вопроса о плоском установившемся течении несжимаемой жидкости. В работе приведены некоторые применения криволинейных и поверхностных интегралов.

Литература

1. Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н. «Лекции по математическому анализу», 1999.

2. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи и упражнения по математическому анализу», Часть 1, 1988.

3. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи и упражнения по математическому анализу», Часть 2, 1991.

4. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997.

5. Запорожец Г.И. «Руководство к решению задач по математическому анализу», 1966.

6. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 1, 1997.

7. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 2, 1984.

8. Матвеев Н.М. «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», 1967.

9. Нахман А.Д., «Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». Учебно-методические разработки. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2006.

10. Никольский С.М. «Курс математического анализа», Часть 1, 2, 1983.

11. Рудин У. «Основы математического анализа», 1966.

12. Шведов И. «Математический анализ. Часть 1. Функции одной переменной».

13. Шведов И. «Математический анализ. Часть 2. Интегральное исчисление функций многих переменных ».

14. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных)», Части 1-2, 1972.

15. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции одного переменного)», Часть 3, 1972.