2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области
Рассмотрим
область 
,
ограниченную снизу и сверху двумя
непрерывными кривыми: 
, 
,
а с боков двумя ординатами
и
(чертёж
18).
Заключим
область
в
прямоугольник 
,
(чертёж 18) полагая 
, 
.
Значение площади K площади
в этом случае: 
.
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертёж 19):
.
Наличие двучлена 
наталкивает
на мысль перейти к полярным координатам:
, 
,
площадь 
.
Благодаря
симметрии, определим (чертёж 19) площадь
части 
фигуры,
т.е. 
.
Полярное уравнение лемнискаты 
, 
,
получаем 
,
искомая площадь есть 
.
2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса
Пусть 
непрерывная
и положительная функция. Вычислим объём
тела, которое сверху ограничено
поверхностью
,
с боков – цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси 
,
снизу – плоской фигурой
на
плоскости 
(чертёж
20).
1.Разобьём
область
на
части: 
и
рассмотрим ряд цилиндрических столбиков.
(чертёж 20)
2.
Возьмём 
.
3. 
,
где 
-
площадь 
.
4.
Получили интегральную сумму 
.
5. 
,
где 
-
длина наибольшего диаметра частичной
области.
В
итоге объём 
.
Пример:
Найти объём тела, вырезанного цилиндром 
из
сферы 
(«тело
Вивиани») (чертёж 21).
,
где P есть
полукруг в первом квадранте плоскости xoy,
ограниченный линиями 
и
.
Перейдём к полярным координатам, тогда
уравнение контура P будет 
при 
.
Таким образом, объём
.
2.4 Механические приложения
Пусть
массы непрерывным образом распределены
по области (P),
причём плотность в точке 
пусть
будет 
.
Тогда элемент массы 
,
вся масса 
.
Элементарные
статические моменты и моменты инерции
относительно осей координат будут 
, 
,
, 
.
Отсюда
.
Получим
координаты центра тяжести 
.
Пусть в пространстве дан брус. Его элементарные статические моменты будут
.
Отсюда координаты центра тяжести
.
Формулы
для моментов инерции бруса 
относительно
оси z и 
, 
-
относительно плоскостей координат yz,
zx:
.
Пример:
Найти центр тяжести однородного
эллипсоида 
,
содержащийся в первом октанте (чертёж
22). (чертёж 22)
Область
(P)
ограничена координатными осями и дугой
эллипса 
,
уравнение эллипсоида в явном виде
.
Тогда
.
Аналогично 
, 
.
Объём 
.
Найдем координаты центра тяжести 
.
3. Криволинейный интеграл
3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов
Запишем
сначала формулу Грина: 
.
Если
функции P и Q в
формуле Грина подобрать так, чтобы 
,
то двойной интеграл приведётся к
площади D.
Если 
и 
,
то 
,
если 
и 
,
то 
,
если 
и 
,
то 
.
Последняя формула является наиболее
употребительной.
Пример:
Найти площадь эллипса с полуосями a и b.
Воспользуемся параметрическими
уравнениями эллипса:
,
.
Тогда 
.
3.2 Приложения к физическим задачам
Работа
силового поля.
Пусть в каждой точке M плоскости xy на
помещённую в неё единицу массы действует
определённая сила 
.
Данная плоскость называется силовым
полем, а сила
-
напряжением поля. Из рисунка видно 
, 
.
Пусть
точка M(x,y)
движется и описывает некоторую непрерывную
кривую (K).
Вычислим работу A,
которую при этом движении совершают
силы поля. В случае прямолинейного
движения 
,
где
В
случае непрямолинейного движения и
непостоянной силы станем определять
положение точки M на
кривой (K)
длиной s дуги AM.
Тогда 
.
Просуммируем, работа выразится
криволинейным интегралом первого
типа: 
.
Пусть
-
угол между направлением элемента
и
осью x,
тогда 
.
Окончательно работа силового поля
выразится криволинейным интегралом
второго типа: 
.
Плоское установившееся движение несжимаемой жидкости.
При
таком движении все частицы, лежащие на
одной вертикали к некоторой плоскости,
имеют одну и ту же скорость. Скорость 
частицы
жидкости зависит только от положения
частицы, но не от времени.
Если
обозначить угол, составленный вектором
с
осью x,
через
,
а проекции этого вектора на координатные
оси – через 
и 
,
то 
.
Количество Q жидкости,
протекающей через кривую (K)
в определённую от неё сторону в единицу
времени, запишется в виде криволинейного
интеграла первого типа 
.
Так
как 
,
то 
.
Перейдём к криволинейному интегралу
второго типа 
.