Аксіоми теорії ймовірностей

При аксіоматичній побудові теорії ймовірностей для кількісного опису ступеня об'єктивної можливості настання подій вводиться спеціальна числова функція P(A), називана імовірністю подій і задана на - алгебрі подій. Імовірності подій повинні задовольняти трьом аксіомам:

1. (аксіома незаперечності ймовірностей будь-яких подій);

2. (аксіома нормування);

3) Для будь-якої кінцевої чи рахункової системи попарно неспільних подій імовірність суми подій дорівнює сумі їхніх ймовірностей, так що

.

Якщо в третій аксіомі розглядається суму кінцевого числа подій, то неї називають аксіомою додавання. Якщо ж сума рахункова, то третю аксіому звичайно називають розширеною аксіомою додавання.

Трійку , де S є - алгебра підмножин простору елементарних подій , P - числова функція, що задовольняє трьом аксіомам, називають ймовірносним простором випадкового експерименту.

Аксіоматична теорія ймовірностей у її сучасному виді була створена російським математиком А. Н. Колмогоровим у 1933 році.

З аксіом за правилами математичної логіки виводяться основні теореми і наслідки теорії ймовірностей.

Так, використовуючи співвідношення й аксіоми 2 і 3, можна одержати, що імовірність будь-якої протилежної події обчислюється по формулі

.

Звідси, з огляду на, що (тобто, що неможлива подія протилежна достовірному) випливає рівність нулю імовірності неможливої події .

Для будь-яких двох подій справедлива формула додавання ймовірностей

.

Дійсно, представимо події і B у виді і . Події в правих частинах цих рівностей несумісні і, отже, по аксіомі 3 маємо і . Звідси випливає виведена нами формула додавання ймовірностей.

Якщо з події A випливає подія B: , то справедлива формула Дійсно, представимо подію B у виді .

Скориставшись теоремою додавання й аксіомою 1, одержимо виведену формулу.

Для будь-якої події істинно .Звідси й аксіом 1 і 2 випливають нерівності

, що

затверджують, що імовірність будь-якої події завжди лежить між нулем і одиницею.

Класична схема ймовірностей

Нехай простір елементарних подій складається з n наслідків, імовірність кожного результату позитивна, а сума ймовірностей усіх наслідків дорівнює одиниці. Визначимо імовірність кожної підмножини як суму ймовірностей тих наслідків, що входять у цю підмножину. Всі аксіоми теорії ймовірностей виконуються при такій схемі завдання ймовірностей подій і, відповідно, виконуються усі висновки, що зроблені з аксіом. Якщо всі елементарні наслідки мають рівні імовірності, то таку кінцеву схему називають класичної, а імовірності подій обчислюють по формулі

де буквою N позначене число елементів у множини. Таким чином, імовірність будь-якої випадкової події в класичній схемі дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють появі цієї події, до загального числа елементарних наслідків. Припущення про однакову можливість наслідків звичайно виконується при організації різного роду ігор, лотерей, вибіркового статистичного контролю і тому подібного.

При використанні класичної схеми часто виявляються корисними різні комбінаторні формули. Нехай мається деяка безліч з n елементів. Кожне його упорядкована підмножина, що складається з k елементів, називається розміщенням з n елементів по k елементів. Відповідно до визначення, одне розміщення відрізняється від іншого або сполукою елементів, або їхнім порядком. Число розміщень знаходиться по формулі

,

тобто дорівнює добутку k послідовно убутних на одиницю натуральних чисел, починаючи з n. Добуток натуральних чисел від 1 до n позначають n! і читають «ен факторіал». Використовуючи це визначення, формулу для числа розміщень можна представити у виді:

,

причому, якщо умовитися вважати, що 0! = 1, то формула справедлива при усіх В окремому випадку розміщення називають перестановками. Одна перестановка відрізняється від інший тільки порядком розташування елементів і їхнє число дорівнює З цієї формули випливає, зокрема, що будь-яка кінцева безліч з n елементів можна упорядкувати «ен факторіал» способами.

Будь-яка підмножина з k елементів деякої множини з n елементів називають сполученням з n по k. Одне сполучення відрізняється від іншого хоча б одним елементом. Число сполучень знаходять по формулах

Приклад. Набираючи номер телефону, абонент забув останню цифру і набрав її навгад. Знайти імовірність того, що набрано потрібну цифру.

Розвязування. Позначимо через A подія: набрана потрібна цифра. Абонент міг набрати кожну з 10 цифр, тому загальне число елементарних наслідків дорівнює 10. Ці наслідки несумісні і рівноймовірні. Застосовуючи формулу класичної схеми, віднесемо число наслідків, що сприяють події A ( потрібна цифра лише одна) до загального числа можливих наслідків ( десять) і одержимо шукану імовірність P(A) = 0,1.

Приклад. Набираючи номер телефону, абонент забув 3 останні цифри і набрав їх навгад. Знайти імовірність того, що набрано потрібний номер, якщо абонент пам'ятав, що ці цифри різні.

Розвязування. Позначимо через A подія – набрані потрібні цифри. Тому що порядок набору цифр важливий, то варто розглядати як весь простір елементарних наслідків безліч розміщень з 10 цифр по 3, що складається з упорядкованих трійок цифр. Застосовуючи формулу класичної схеми, віднесемо число наслідків, , що сприяють події A (підходить лише одна упорядкована трійка цифр), до загального числа можливих наслідків ( 720) і одержимо шукану імовірність P(A) = 1/ 720.

Приклад. З партії, що містить 10 виробів, серед яких 3 бракованих, навгад витягають 3 виробу для контролю. Знайти імовірність події A={в отриманій вибірці рівно один виріб браковане}.

Розвязування. Занумеруємо виробу числами від 1 до 10 , і нехай безліч номерів C = {1, 2, … , 7} відповідає придатним виробам, а безліч номерів D = {8,9,10} – бракованим виробам. Відповідно до опису експерименту виробляється вибір трьох виробів (причому порядок їхньої появи неважливий) з множини , що містить 10 виробів. Тому простір елементарних наслідків являє собою безліч сполучень з 10 по 3, що містить елементів. Події A сприяють тільки такі наслідки (трійки виробів), коли два вироби придатні (належать множини C), а рівно одній браковане (належить множини D). По формулі прямого добутку множин (основній формулі комбінаторики) одержуємо, що число всіх таких наслідків дорівнює . Застосовуючи формулу класичної схеми, одержимо остаточно