Геометричні імовірності

Формула класичної імовірності в такий спосіб узагальнюється на випадок нескінченних просторів елементарних наслідків. Розглянемо в якості - алгебри S систему вимірних підмножин простору . Нехай умови досліду такі, що імовірність влучення в довільну вимірну підмножину пропорційна мері цієї підмножини і не залежить від його місця розташування в просторі . При цих умовах імовірність появи будь-якої події A з S обчислюється по формулі геометричної імовірності

де буквою позначена міра множини (довжина, площа, обсяг і т.д.).

Приклад. На площині накреслені два концентричні кола, радіуси яких 5 і 10 відповідно. Знайти імовірність того, що точка кинута навгад у велике коло, потрапить у кільце між двома колами.

Розв’язування. Міра множини A дорівнює площі кільця і знаходиться по формулі Міра простору елементарних подій дорівнює площі великого кругу Шукана імовірність

Задачі для самостійного розвязування

Зважуються три задачі з завдання відповідно до індивідуальних номерів за наступною схемою.

1) 1, 13, 25 2) 2, 14, 26 3) 3, 15, 27 4) 4, 16, 28 5) 5, 17, 29 6) 6, 18, 30 7) 7, 19, 31 8) 8, 20, 32 9) 9, 21, 33 10) 10, 22, 34 11) 11, 23, 35 12) 12, 24, 36 13) 1, 14, 27 14) 2, 15, 28 15) 3, 16, 29 16) 4, 17, 30 17) 5, 18, 31 18) 6, 19, 32 19) 7, 20, 33 20) 8, 21, 34 21) 9, 22, 35 22) 10, 23, 36 23) 3, 14, 25 24) 4, 15, 26 25) 5, 16, 27 26) 6, 17, 28 27) 7, 18, 29 28) 8, 19, 30 29) 9, 20, 31 30) 10, 21, 32 31) 11, 22, 33 32) 12, 23, 34

1. Усередині квадрата з вершинами (0,0), (1,0), (1,1) і (0,1) навгад вибирається точка M (x, y). Знайти імовірність події .

2. Усередині квадрата з вершинами (0,0), (1,0), (1,1) і (0,1) навгад вибирається точка M (x, y). Знайти імовірність події .

3. З області навмання беруть точку M (x, y). Знайти P( 2y < x ) .

4. З області навмання беруть точку M(x, y). Знайти P ( y > 3 ) .

5. З області, обмеженої лініями y = 0, y = x, y = 1/x , x = 4, навмання беруть точку M (x, y) . Знайти P ( 4y > 3 - x ) .

6. Усередині множини {0 < x < 6 ; x < y < 2x } навгад вибирається точка M (x, y). Знайти імовірність події .

7. З області навмання беруть точку M (x, y) . Знайти P ( y < 4 ) .

8. З області навмання беруть точку M (x, y). Знайти P ( x < 0 ) .

9. Усередині множини {-2 < x < 2 ; | x - y | < 2 } навгад вибирається точка M (x, y). Знайти імовірність події .

10. З області навмання беруть точку M(x, y). Знайти P ( y < 3 | x | ).

11. З області навмання беруть точку M (x, y). Знайти P ( y < 2x ) .

12. З області навмання беруть точку M (x, y). Знайти імовірність події .

13. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти P ( x > 0 ) .

14. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

15. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

16. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

17. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

18. З області, обмеженої кривої

і прямої y = 2 навмання беруть точку M (x, y). Знайти

19. З області, обмеженої кривої

і ламаної y = 2 - |x| навмання беруть точку M (x, y). Знайти

20. З області, обмеженої кривої

і прямими x = 1, x = 2 навмання беруть точку M (x, y). Знайти

21. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

22. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

23. З області, обмеженої кривої

і прямими x = 0, y = 0 навмання беруть точку M (x, y). Знайти

24. З області, обмеженої кривої

навмання беруть точку M (x, y). Знайти

25. З області, обмеженої кривої (лемніската Бернуллі) , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(x > 0, y > 0 ).

26. З області, обмеженої кардіоїдою , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P( y > 0 ).

27. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(| y | < x ).

28. З області, обмеженої одним пелюстком кривої ,

навмання беруть точку M (x, y). Знайти імовірність події .

29. З області, обмеженої одним пелюстком кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти імовірність події .

30. З області, обмеженої кардіоїдою , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P ( x > 0 ) .

31. З області, обмеженої кардіоїдою , навмання беруть точку M (x, y). Знайти імовірність події .

32. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(| y | < x ).

33. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(| y | < x ).

34. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(x >0, y >0).

35. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P(| y | < x ).

36. З області, обмеженої кривої , навмання беруть точку M (x, y). Знайти P( x >0, y> 0 ).