Умовна імовірність. Незалежність подій. Формули множення і додавання ймовірностей.

Одним з основних понять при аксіоматичній побудові теорії ймовірностей є поняття умовної імовірності. Саме умовна імовірність оцінює ту зміну в імовірності настання деякої події, що відбувається після одержання додаткової інформації. Розглянемо дві події A і B. Нехай стало відомо, що подія A відбулося, але невідомо, який конкретно елементарний результат реалізувався. Що можна сказати в цьому випадку про імовірність події B? Відповідно до визначення, умовною імовірністю настання події B за умови реалізації події A називається відношення імовірності добутку подій A і B до імовірності події A

Покажемо на простих прикладах, що обчислена в такий спосіб умовна імовірність збігається з інтуїтивно передбачуваної.

Приклад. Нехай подія A – випадання парного числа очок на гральному кубику, а подія B – випадання непарного числа очок. Оскільки події A і B несумісні, те при настанні події A подія B уже не може відбутися і йому природно приписати умовну імовірність 0. Таку ж умовну імовірність події B одержимо по кінцеві формулі, тому що й у чисельнику 0.

Приклад. Подія A - випадання 4 чи 6 очок на гральному кубику, а подія B– випадання парного числа очок. Тому що A усередині B, те при настанні події A подія B обов'язково відбудеться, тобто подія B має умовну імовірність 1. Таку ж умовну імовірність події B одержимо по кінцеві формулі, тому що й у чисельнику і знаменнику мають однакові імовірності.

Приклад. Нехай подія A – випадання парного числа очок на гральному кубику, а подія B – випадання не менш 5 очок. Якщо подія A наступила, то відбувся один із трьох елементарних наслідків: випало 2, 4 чи 6 очок. Але з цих трьох наслідків тільки один результат «випадання шістки» спричиняє поява події B. Відповідно до класичної схеми в даному випадку природно визначити умовну імовірність події B числом 1/3. Таку ж умовну імовірність події B одержимо по кінцеві формулі, тому що Помітимо, що в цьому прикладі умовна імовірність появи події B збігається з безумовною.

З приведених прикладів видно, що умовна імовірність може, як збігатися з безумовною імовірністю, так і бути чи менше більше її. На практиці часто відбувається так, що відомо чи досить просто визначаються саме умовні імовірності і з їх допомогою обчислюються необхідні безумовні імовірності. Найпростішою формулою для розвязування задач такого типу у випадку двох подій є формула множення ймовірностей

яка випливає безпосередньо з визначення умовної імовірності подій. Застосовуючи цю формулу кілька разів одержують формулу множення ймовірностей для системи подій у виді

Приклад. На 7 картках написані букви до, до, про, про, про, т, т. З них послідовно вибираються 3 і кладуться ліворуч праворуч. Знайдемо імовірність того, що в результаті утвориться слово «кіт» (подія A).

Розв’язування. Скористаємося формулою множення ймовірностей і введемо події: - на першій вийнятій картці написана буква до, - на другий буква про, - на третьої буква т. Тоді подія A являє собою добуток подій і знаходиться по формулі множення ймовірностей для трьох подій

.

Помітимо тепер, що відповідно до класичної схеми безумовна імовірність визначається як відношення числа карток, на яких написана буква до, до загального числа карток, тобто =2/7 . Далі, якщо подія відбулася, те в нас залишилося шість карток і на трьох з них написана буква о. Тому Нарешті, якщо відбулися події , то з п'яти карток, що залишилися, на двох написана буква т, і значить Остаточно одержуємо

Події A і B називаються незалежними, якщо тобто, якщо імовірність добутку подій дорівнює добутку їхніх ймовірностей. Для незалежних подій умовна імовірність кожного з них дорівнює безумовної, що випливає з відповідних визначень. Система з k подій називається незалежної в сукупності, якщо для будь-якої її підсистеми з подій справедливі формули З незалежності системи в сукупності випливає попарна незалежність, однак зворотне невірно.

Приклад. Проводиться дослід, що складається з дворазового підкидання симетричної монети. У цьому випадку простір елементарних наслідків складається з чотирьох наслідків: . Нехай подія – випадання «герба» при першому підкиданні монети, подія – випадання «герба» при другому підкиданні. Тоді подія випадання герба при першому і другому підкиданні монети. За класичною схемою обчислення ймовірностей Події A і B незалежні, оскільки

Приведемо далі формулу для об'єднання незалежних подій. Нехай

Тоді відповідно до формули де Моргана Якщо події незалежні, те протилежні їм події також незалежні, і справедлива формула Звідси остаточно одержуємо формулу для імовірності об'єднання декількох незалежних подій

Приклад. Нехай деяка система складається з декількох елементів. Назвемо сполуку цих елементів послідовним, якщо відмовлення хоча б одного елемента спричиняє відмовлення всієї системи. Припускаючи, що відмовлення всіх елементів незалежні, імовірність відмовлення системи можна виразити через імовірності відмовлень окремих елементів по попередній формулі. Якщо відмовлення системи відбувається при одночасному відмовленні усіх вхідних у неї елементів, то така сполука елементів називають рівнобіжним. Припускаючи, як і раніше, що відмовлення елементів незалежні, імовірність відмовлення всієї системи розраховують по формулі Якщо система має досить складну структуру, те її розбивають на блоки, що складаються з елементів, з'єднаних тільки чи послідовно паралельно, і обчислюють імовірності відмовлень цих блоків, користаючись обома формулами. Остаточно імовірність відмовлення системи розраховують по одній із двох приведених формул.