2. Линейная зависимость и независимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы

Семейство векторов 1 называется линейно-зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов равная 0. В противном случае семейство векторов 1 линейно-независимо.

1. k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n=0

Свойство линейной зависимости.

1. Сем век, состоящее из 1 ненулевого вектора линейно-независимо.

2. Сем век, содержащее 0 вектор линейно-независимо.

3. Сем век, содержащее 2 одинаковых вектора линейно-зависимо.

4. Сем век, содержащее лин-зав подсемейство век, линейно-зависимо.

Говорят, что век а лин выр через семейство век 1, если а можно выразить через лин комбинацию а=х₁а₁+x₂а₂+…+x_na_n

5. Сем век тогда и только тогда лин-зав когда один из векторов данного семейства лин выражается через другие векторы этого же семейства.

Определение 3   Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. (лежат на одной прямой или на параллельных прямых)     

Ненулевые векторы а и в коллинеарны тогда и только тогда когда найдется такое число х, что в=ха.

Определение 4   ненулевые векторы а, б, с называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.         

Замечание Если среди трех векторов хотя бы два коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Пусть векторы а (а₁, а₂,а₃) , б(б₁, б₂,б₃) и с (с₁, с₂,с₃) заданы в векторном базисе Е=(е₁, е₂,е₃). Векторы а и б образуют базис, если они линейно независимы. Это выполняется, если определитель, составленный из координат этих векторов отличен от 0.

3. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису в пространстве r2 и r3.

Определение базис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Число векторов в базисе векторного пространства называется размерностью ЛВП.

Пусть на плоскости даны неколлинеарные векторы а и б и р-произвольный вектор на этой плосксоти.

Если вектор р коллинеарен с одним из векторов а и б, то или р=ха+0б, или р=0а+yб.

Если вектор р не коллинеарен ни с одним из векторов а и б, то можно р=ха+уб.

Равенство р=ха+уб называется разложением вектора р по двум неколлинеарным векторам а и б; числа х и у называются коэффициентами разложения.

Теорема Если на плоскости дана упорядоченная пара (а;б) неколлинеарных векторов, то для любого вектора р этой плоскости существует единственная упорядоченная пара чисел (х;у) такая, что выполняется векторное равенство р=ха+уб.

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов а и б. Векторы а и б называются базисными векторами.

(а;б) – базис р=ха+уб – разложение вектора р по базису (а;б), а числа х и у – координатами вектора р в базисе (а;б)

Определение Три вектора называются некомпланарными, если изображающие их направленные отрезки не лежат в одной плоскости и не параллельны одной плоскости.

Если дана упорядоченная тройка (а;б;с) некомпланарных векторов, то для любого вектора р пространства существует единственная упорядоченная тройка чисел (х;y;z), удовлетворяющая равенству р=xa+yb+zc.

х;y;z – коэффициенты разложения (координаты вектора р в базисе (а;б;с))

Определение Базисом векторов в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, образующие базис, называются базисными векторами.

Размерность этого пространства равна трем.

Пусть векторы а₁, а₂, …, а_n образуют базис в пространстве R_n. Тогда любой вектор а этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов. а= к₁а₁,к₂ а₂, …, а_n к_n

Представление вектора а в этой форме называется разложением этого вектора по базису.

Пусть векторы а (а₁, а₂,а₃) , б(б₁, б₂,б₃) и с (с₁, с₂,с₃) заданы в векторном базисе Е=(е₁, е₂,е₃). Векторы а и б образуют базис, если они линейно независимы. Это выполняется, если определитель, составленный из координат этих векторов отличен от 0.