8. Прямая линия в пространстве. Способы задания

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;              (2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                       (3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (4)

Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.                              (5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.                                      (6)

От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система  равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей  , то вектор   является направляющим вектором данной прямой.

9. Плоскость, способы её задания

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0  (1) задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (1):

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Уравнение плоскости в отрезках 

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

     Нормальное уравнение плоскости 

где   - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.

     Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь   - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если   произвольно, если D = 0.

     Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору 

     В векторном виде

     В координатах

     Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

     В векторном виде

     В координатах

  Уравнение плоскости по трем точкам 

     В векторном виде

     В координатах

или

     Параметрические уравнения плоскости 

     В векторном виде

     В координатах

     Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые   и 

     Если прямые заданы соответственно уравнениями:

   и   

то уравнение плоскости есть

Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые   и 

 или 

     Если  , то уравнение плоскости есть

     Отклонение точки от плоскости 

или

где знак перед корнем противоположен знаку D, если   и выбран произвольно, если D = 0.

     Расстояние от точки до плоскости 

    Взаимное расположение двух плоскостей 

     Если  , то они:

     1) пересекаются 

     2) параллельны (но не совпадают) 

     3) совпадают 

     Если плоскости заданы уравнениями   и   то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

     Угол между плоскостями 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей 

 или 

 Расстояние между параллельными плоскостями 

     Если плоскости заданы равнениями   и  , то

а если уравнениями   и  , то

     Дана плоскость  . Построить плоскость  , перпендикулярную данной и проходящую через точки  .

Алгоритм разобран, решаем задачу:

1)Найдём вектор  .

2) Из уравнения   снимем вектор нормали:  .

3) Уравнение плоскости   составим по точке   (можно было взять и  ) и двум неколлинеарным векторам  :

Ответ: