5. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР:  , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву  .

Определение: Векторным произведением   неколлинеарных векторов  , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР  , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор   ортогонален векторам   , и направлен так, что базис   имеет правую ориентацию:  (малиновый цвет)

Таким образом, если  , то  . 

Для произвольных векторов   и произвольного числа   справедливы следующие свойства:

1)    В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. 2)   – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3)   – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. 4)   – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения.

Векторное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой:

Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения. 

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Векторное произведение – это же вектор.

Зададим в пространстве ортонормированный репер R={O, i, j, k} например правый и будем считать его положительно ориентированным. Тогда пространство будет ориентировано.

Определение Векторным произведением вектора а на вектор б называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий условиям:

1)

2) а перпен , б перпен

3) тройки векторов {i, j, k} и {а б, } ориентированы одинаково

6. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе

Смешанным произведением векторов   называется число  , равное скалярному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Смешанное произведение обозначается  .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов   равен объему   параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение   положительно, если тройка векторов   — правая, и отрицательно, если тройка   — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение   равно нулю тогда и только тогда, когда векторы   компланарны:  векторы   компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:  , где   — угол между векторами   и  . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади   параллелограмма, построенного на векторах  и  : . Поэтому  . Алгебраическое значение   длины проекции вектора  на ось, задаваемую вектором  , равно по модулю высоте   параллелепипеда, построенного на векторах   (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему   этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла  . Если тройка   правая, то   и смешанное произведение   положительно. Если же тройка   левая, то   и смешанное произведение   отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях:   или   (т.е.  ),или   (т.е. вектор   принадлежит плоскости векторов   и  ). В каждом случае векторы   компланарны (см. разд. 1.1).

Алгебраические свойства смешанного

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. 

3.

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если  , то по определению векторного произведения  , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как  . Если же   или  , то угол между векторами   и  равен  , следовательно, по определению скалярного произведения векторов  .

Смешанное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе   правой ориентации, выражается формулой:

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Если векторы   компланарны, то