11. Линии второго порядка: гипербола и его свойства.

Г иперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек   и   есть величина постоянная  , меньшая расстояния   между этими заданными точками. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы:

Т очки   и   называются фокусами гиперболы, расстояние   между ними — фокусным расстоянием, середина   отрезка   — центром гиперболы, число   — длиной действительной оси гиперболы (соответственно,   — действительной полуосью гиперболы). Отрезки   и  , соединяющие произвольную точку   гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки  . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение  , где  , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения   следует, что  .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

С оставим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов   и  . Для произвольной точки  , принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы: где  , т.е. выбранная система координат является канонической.

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии   от нее. При  , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат   имеет вид где   — фокальный параметр гиперболы.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы Подставляя в уравнение  , находим абсциссы точек пересечения:  . Следовательно, вершины имеют координаты  . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна  . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число   — действительной полуосью гиперболы. Подставляя  , получаем  . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки  , равна  . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число   — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

1. Прямые   ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола

2. Прямые  , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы.

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением   (т.е. при а=b), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат  . В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид   (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид где   — гиперболический косинус, a   гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству  .

эксцентриситет  ; фокальныи параметр  . Составляем уравнения асимптот  , т.е.  , и уравнения директрис:  .