Глава 12.
Частотные методы в исследовании динамики нелинейных систем.
Частотные методы не дают возможности провести полное исследование динамики нелинейной системы. Однако, в тех областях исследования, где они применимы, частотные методы очень эффективны. Они сочетают простоту и наглядность в решении задач с большой мощностью. Для них не является препятствием ни высокий порядок системы, ни трансцендентные или иррациональные звенья передаточной функции линейной части.
В данной главе излагаются частотные методы решения двух важных задач теории нелинейных систем.
1. Задача абсолютной устойчивости положения равновесия или отрезка покоя нелинейной системы. Основные теоремы о достаточных условиях абсолютной устойчивости, полученные В.М.Поповым, В.А.Якубовичем и А.Х.Гелигом (в период 1960-1964 гг), приводится без доказательств, но с подробным объяснением техники их применения.
2. Задача определения параметров автоколебаний. Приводится без доказательства критерий колебательности В.А.Якубовича. затем дается изложение ключевых идей метода гармонического баланса.
Прежде чем переходить к указанным выше темам рассматривается вопрос о приведении структурной схемы нелинейной системы с одним нелинейным блоком к наиболее простой форме.
§1. Структурное преобразование нелинейных систем. Приведение структурной схемы к канонической форме.
Если структурная схема системы имеет один нелинейный элемент, и задача стоит в исследовании собственных движений системы, то ее целесообразно привести посредством структурных преобразований к форме, когда структурная схема будет состоять только из двух блоков – линейного и нелинейного. Такую структурную схему условимся называть канонической. Основная трудность при приведении структурной схемы к канонической форме состоит в том, что нелинейный элемент нельзя менять местами с другими элементами схемы.
Покажем на примерах, как преобразовать к канонической форме структурную схему. Пусть структурная схема имеет вид, показанный на рисунке 1.
Пример 1.
Рис. 1
Запишем уравнение по схеме 1.
h = uW2W3 ; v = -uW2W4W1 (1)
x = v – h = -u[W2W3 + W2W4W1] = -uW2[W3 + W4W1] (2)
Уравнениям (1), (2) соответствует схема, показанная на рисунке 2:
Рис. 2
Схема на рисунке 2 преобразуется к канонической схеме, показанной на рисунке 3.
Рис. 3
Где W = W2[W3 + W4W1]
Пример 2.
Исходная схема имеет вид, показанный на рисунке 4.
Рис. 4
Запишем уравнение по схеме 4.
[-xW3W1 – u]W2 = x (3)
-uW2 = [1 + W3W1W2]x (4)
x
= -u
(5)
Уравнениям (3), (4), (5) соответствует схема, показанная на рисунке 5:
Рис. 5
Схема на рисунке 5 преобразуется к канонической схеме, показанной на рисунке 6.
Рис. 6
где W =
Рассмотрим случай, когда изучаются воздействия на схему внешнего сигнала.
Пусть структурная схема имеет вид, показанный на рисунке 7.
Рис. 7
Делаем очевидные структурные преобразования и получаем схему, показанную на рисунке 8.
Рис. 8
Схема на рисунке 8 преобразуется к схеме на рисунке 9, где пунктиром выделена каноническая схема.
Рис. 9
Где W = W2(W3 + W1)