§2. Частотные критерии абсолютной устойчивости положения равновесия и отрезка покоя.

Постановка задачи.

Рассмотрим вопрос об устойчивости единственного положения равновесия нелинейной системы, структурная схема которой приведена к каноническому виду (рис. 1), где обозначено: линейный блок L и нелинейный блок N.

Рис. 1

Линейный блок L задан передаточной функцией W(p). Будем предполагать, что W(p) – правильная рациональная дробь. Никаких ограничений на степень знаменателя W(p) не налагается. Рассматриваются системы произвольно высокого порядка. Должны быть известны, если они есть, корни знаменателя на мнимой оси и в правой полуплоскости.

Нелинейный блок N. Функция u = N(x), связывающая сигналы на входе и на выходе блока, известна не полностью. Задается только класс функций, которому принадлежит N(x), а не её график или аналитическое выражение. Этот класс определяется следующими условиями:

1. График функции N(x) находится внутри двухполосного сектора, ограниченного прямыми (1) (рис. 2, 3)

u = μ₁x и u = μ₂x (1)

Если граничные прямые включаются в сектор, то условимся сектор обозначать S[μ₁, μ₂] или S[μ₀]. Если не включаются, то – S(μ₁, μ₂₎ или S(μ₀).

Рис. 2

Рис. 3

2. Функция N(x) является однозначной, кусочно-непрерывной и может, вообще говоря, иметь конечные разрывы первого рода. Функция N(x) обращается в нуль только при значении x равном нулю.

Вначале мы не будем рассматривать случай, когда имеет место отрезок покоя. Далее будет кратко рассмотрен вопрос об устойчивости отрезка покоя системы (т.е. система, у которой нелинейный элемент имеет зону нечувствительности) и случая, когда N(x) есть функция с гистерезисом.

Условие, что функция N(x) находится в секторе S[μ₁, μ₂] можно записать в форме неравенства

μ₁ ≤ N(x)/x ≤ μ₂ , x ≠ 0 (2)

случай, когда μ₁ = 0 называется базовым:

0 ≤ N(x)/x ≤ μ_{0 ,} x ≠ 0 (3)

Для упрощения рассуждений целесообразно отказаться от условия, что N(x) может касаться ограничивающий сектор прямых и в формулах (2) и (3) перейти к строгим неравенствам, которые соответственно будем обозначать круглыми скобками.

μ₁ < N(x)/x < μ₂ , x ≠ 0 (4)

0 < N(x)/x < μ₀ , x ≠ 0 (5)

Определение понятия абсолютной устойчивости в терминах «вход-выход».

В теории нелинейных систем особенно в тех случаях, когда передаточная функция линейного блока содержит трансцендентные и иррациональные звенья широко используется определение понятия абсолютной устойчивости.

Нелинейная система (на рисунке 1) называется абсолютно устойчивой для нелинейных элементов из заданного класса, если при любых начальных условиях сколь бы они не были велики величина y(t)→0 при t→∞ и, кроме того, верхняя граница y(t) становится сколь угодно малой при неограниченном уменьшении начальных условий.

При формулировке определения абсолютной устойчивости предполагаются выполненными следующие свойства нелинейного блока. Пусть t→∞ , тогда u(t)→0 , если х(t)→0. Кроме того, верхняя граница u(t) становится сколь угодно малой, если начальные условия неограниченно уменьшаются.

Отметим, что в практике систем автоматического управления нелинейные блоки удовлетворяют указанным свойствам почти всегда.

При моделировании на ПК часто поступают следующим образом.

Так как рассматриваются свободные движения системы (рис. 1), то входное воздействие предполагается импульсом, который выводит систему из положения равновесия, а затем обращается в 0. Иначе можно сказать, что рассматривается система, находящаяся в произвольной точке фазового пространства и не подверженная внешнему воздействию.

Важно подчеркнуть, что задачу в общем случае, т.е. в классе S[μ₁, μ₂] или S(μ₁, μ₂), можно привести путём структурных преобразований, показанных ниже, к задаче в базовом классе S[μ₀] или S(μ₀). Поэтому, формально говоря, можно ограничится решением задачи только в классе S[μ₀] или S(μ₀). Однако, это не всегда целесообразно.

Структурные преобразования при переходе от общего случая к базовому.

А) Рис. 4. Нелинейность задана в секторе S(μ1,μ2).

В) Рис. 5. Фиксируем дополнительные точки съема информации а и с. Очевидно равенство сигналов v = u = z.

С) Рис. 6. Охватываем блок W отрицательной обратной связью с коэффициентом λ; блок N охватываем прямой отрицательной связью с коэффициентом λ. Непосредственно по схеме записываем соотношение: x = -y; v + yλ – yλ = z. Следовательно, v = z. Схемы b и c эквивалентны.

D) Рис. 7. N0(x) = N(x) – λx; W0(p) = . Если положить λ = μ1, то нелинейность в блоке N0 , будет находиться в секторе S(μ0). Где μ0 = μ2 – μ1.

Т.к. линейная функция u = μ·x принадлежит классу S[μ₁, μ₂] или S(μ₁, μ₂), то первым этапом исследования на абсолютную устойчивость положения равновесия исходной нелинейной системы является рассмотрение вопроса об устойчивости так называемой линейной системы сравнения.

Линейная система сравнения.

Заменим нелинейный блок N пропорциональным звеном с коэффициентом усиления μ. В этом случае схема на рисунке 1 преобразуется в линейную систему, которую будем называть линейной системой сравнения (ЛСС). Из определения абсолютной устойчивости следует, что полученная линейная система должна быть устойчива для всех значений коэффициента усиления μ, заданных неравенством

μ₁ < μ < μ₂ (6)

в частности, если μ₁ = 0, то неравенство (6) принимает вид

0 < μ < μ₀ (7)

Для обозначения секторов (отрезков) устойчивости ЛСС будем использовать вместо буквы S букву L.

Первым этапом при решении задачи об абсолютной устойчивости исходной системы в заданном классе S(μ₀) или S(μ₁, μ₂) является исследование устойчивости линейной системы сравнения при изменении коэффициента усиления μ в соответствии с (6). Если хотя бы для одного значения μ из (6) линейная система сравнения окажется неустойчивой, то исходная система заведомо не является абсолютно устойчивой. Более того, в лучшем случае мы получим автоколебания, а в худшем – расходящийся процесс.

Обозначим передаточную функцию блока L ЛСС

W(p) = B(p)/A(p) (8)

Обратим внимание, что коэффициент усиления «включён» в многочлен B(p), т.е. коэффициенты многочлена B(p) умножены на величину коэффициента усиления. Передаточная функция разомкнутой линейной системы сравнения равна

μ ·W(p), (9)

а характеристическое уравнение ЛСС имеет вид

A(p) + μB(p) = 0 (10)

Для изучения устойчивости ЛСС будем использовать, в силу традиций, критерий Найквиста в нормированной форме (точка -1 заменяется точкой -μ^-1) , хотя применение корневого годографа было бы более наглядно.

Устойчивость и предельная устойчивость ЛСС для базового случая S(μ₀)

Рассмотрим вопрос об устойчивости ЛСС в зависимости от расположения полюсов W(p).

1. предположим, что W(p) имеет хотя бы один неустойчивый полюс, в этом случае ЛСС будет неустойчива при малых значениях коэффициента усиления μ и, следовательно, положение равновесия исходной нелинейной системы заведомо будет неустойчиво.

2. предположим, что W(p) имеет только устойчивые полюса (состоит из устойчивых звеньев). В этом случае величина μ₀ должна удовлетворять условию, что левее точки –μ₀^-1 кривая Найквиста не пересекает отрицательную часть действительной оси. (в противном случае нарушается устойчивость ЛСС при некоторых значениях μ меньших, чем μ₀).

Указанные ограничения существенны при исследовании, так называемых, условно устойчивых (по Боде) линейных систем. Эти системы имеют несколько секторов устойчивости совершенно равносильных с точки зрения линейной теории. Но в нелинейных задачах положение радикально меняется. Равносильность исчезает. Только крайний левый бесконечный сектор определяет число μ₀. для примера на рисунке 8 приведена кривая Найквиста условно устойчивой системы. Предполагается, что все полюса W(p) находятся в левой полуплоскости.

Обратимся к рисунку 8.

Рис. 8

ЛСС устойчива при следующих значениях коэффициента усиления μ:

L(0, β₁): 0 < μ < β₁ (11)

L(β₂, β₃): β₂ < μ < β₃ (12)

В данном случае наибольшее значение μ₀ можно взять равное β₁ .

3. Предположим, что W(p) имеет полюса в левой полуплоскости и на мнимой оси и рассмотрим вопрос, когда при малых значениях коэффициента усиления μ полюса сдвигаются с мнимой оси в левую полуплоскость. Это условие в теории абсолютной устойчивости называется «предельной устойчивостью». Для выполнения условия предельной устойчивости требуется, чтобы дуги окружности бесконечного радиуса, порожденных полюсами W(p) на мнимой оси, не пересекали отрицательную часть действительной оси.

Практический интерес представляют следующие случаи:

1. одно интегрирующее звено, остальные звенья устойчивые;

2. два интегрирующих звена, остальные звенья устойчивые;

3. одно консервативное звено, остальные звенья устойчивые;

4. одно консервативное и одно интегрирующее звено.

В первом случае условие заведомо выполняется.

Для изучения вопроса о том, как расположены дуги окружности бесконечного радиуса, разлагаем передаточные функции на простые дроби (это удобно делать с помощью Mathсad)

Два интегрирующих звена:

(13)

В этой формуле и ниже отточием указаны слагаемые имеющие полюса в левой полуплоскости.

В окрестности точки ω=0 можно принять

(14)

Если выполняются неравенства ρ>0 и η>0 , то дуга окружности бесконечного радиуса не пересекает отрицательной части действительной оси, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Консервативное звено. Пусть его полюсы на мнимой оси - ±jΩ. Разлагаем на простые дроби:

(15)

В окрестности точки ω = +Ω можно принять:

(16)

Если α>0, то дуга окружности бесконечного радиуса не пересекает отрицательную часть действительной оси. В зависимости от знака числа β возможны два варианта, показанные на рисунке 10.

рис.10

Консервативное и интегрирующее звенья:

(17)

В данном случае необходимо учитывать две дуги окружности бесконечного радиуса. Если α>0 и λ>0, то обе дуги не пересекут отрицательной части действительной оси (см. рис. 11).

Рис.11

Таким образом, указанны условия, при которых ЛСС будет устойчива при малых коэффициентах усиления μ.

Упражнение. Доказать, что если W(p) содержит три интегрирующих звена, то ЛСС заведомо не будет устойчива при малых коэффициентах усиления.

Перейдём к рассмотрению общего случая S(μ₁, μ₂).

Вне зависимости от того устойчива или нет передаточная функция W(p), необходимо, чтобы ЛСС была устойчива для всех значений μ, удовлетворяющих неравенству:

μ₁ < μ < μ₂ (18)

Отметим, что W(p) может иметь неустойчивые звенья, например:

Характеристическое уравнение ЛСС: устойчиво.

Ниже приводятся некоторые рисунки, для определения устойчивости ЛСС по критерию Найквиста.

Критерий Найквиста для всех μ, удовлетворяющих условию 0 < μ < μ₀

W(p) = Рис. 12а.	Рис. 12b.
W(p) = Рис. 13a.	Рис. 13b.
W(p) = Рис. 14.

Критерий В.М. Попова. Достаточное условие абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной системы в классе S(μ₀).

Сначала отметим одну терминологическую особенность. Обычно в математике термин «критерий» употребляется в случае необходимых и достаточных условий (например, критерий Гурвица, критерий Найквиста). Однако, в теории абсолютной устойчивости термин «критерий» употребляют в случае, когда известны только достаточные условия.

При изучении критерия В.М.Попова по умолчанию будем предполагать, что проведено исследование ЛСС и установлена её устойчивость и предельная устойчивость, если W(p) имеет полюса на мнимой оси.

Начнем рассмотрение с описания неравенства В.М. Попова, которое имеет исключительно важное значение для нашей задачи.

(19)

Неравенство (19) условимся называть неравенством В.М.Попова.

На первый взгляд, кажется, что проверить выполнение неравенства В.М.Попова для заданного числа μ₀ и передаточной функции W(p) очень трудно, т.к. ничего не известно о числе θ. Однако, существует исключительно простой геометрический метод его проверки, который будет описан ниже.

Основная теорема.

1. Пусть W(p) имеет все полюса в левой полуплоскости кроме, быть может, простого полюса в нуле (иначе: пусть W(p) содержит только устойчивые звенья и, быть может, одно интегрирующее звено). В этом случае для абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной системы в классе S(μ₀) достаточно выполнение неравенства В.М.Попова.

2. Если W(p) не содержит интегрирующего звена, а содержит только устойчивые звенья, то выполнение неравенства В.М.Попова достаточно для абсолютной устойчивости положения равновесия в классе S[μ₀].

3. Пусть W(p) содержит устойчивые звенья и два интегрирующих звена. Для того чтобы положение равновесия было абсолютно устойчивым в классе S(μ₀) достаточно выполнение неравенства В.М.Попова и расходимости двух приведённых ниже интегралов

(20)

Важно подчеркнуть, что фактически нет необходимости в вычислении интегралов. Их расходимость будет обеспечена, если график N(x) находится на конечном расстоянии от оси абсцисс. В этом случае величина μ₀ не имеет значения, как будет видно из дальнейшего, для выполнения неравенства В.М.Попова.

4. Пусть W(p) наряду с устойчивыми звеньями содержит одно консервативное звено с полюсами ±jΩ и , быть может, одно интегрирующее звено. В этом случае для абсолютной устойчивости положения равновесия в классе S(μ₀) достаточно выполнение неравенства В.М.Попова для всех ω≠Ω. Причём число θ определяется однозначно: (21)

где α и β коэффициенты в разложении W(p) на простые дроби.

В 1961 году была напечатана работа молодого румынского математика В.М.Попова «об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования» в журнале «Автоматика и телемеханика» №8. это выдающаяся и исключительно оригинальная работа послужила поворотным пунктом в истории развития теории устойчивости. В дальнейшем значительный вклад в развитие теории абсолютной устойчивости внесли советские математики. Особенно В.А.Якубович.

Условие 3 и 4 данной теоремы были доказаны советским учёным В.Е.Якубовичем (ЛГУ) в 1964 году.

Геометрический метод решения неравенства В.М.Попова.

Разделим W(jω) на действительную и мнимую часть.

W(jω) = U(ω) + jV(ω) (22)

Выполним следующие преобразования:

Re[(1 + jωθ)W(jω)] = Re[(1 + jωθ)[U(ω) + jV(ω)]] =

(23)

= Re[U(ω) + jωθU(ω) + jV(ω) – θωV(ω)] = U(ω) – θωV(ω)

Неравенство В.М.Попова можно согласно (23) записать : (24)

Обозначим:

X = U(ω) , Y = ωV(ω) (25)

Для сокращения при записи функций X и Y опущена зависимость от переменной ω.

Неравенство (24), используя обозначения (25), запишем в следующей форме:

(26)

Введём в рассмотрение плоскость с координатами XY. Проведём на этой плоскости прямую, которую назовём прямой В.М.Попова:

(27)

Прямая (27) пересекает ось абсцисс в точке и имеет наклон .

Прямая В.М.Попова разбивает плоскость на две полуплоскости. Для точек одной из них выполняется неравенство (26). Очевидно, что это будет полуплоскость, в которой расположена точка X=0, Y=0.

Построим на плоскости XY параметрическую кривую, определяемую соотношением (25), изменяя переменную ω от нуля до бесконечности. Обозначим построенную кривую T(ω). Перейдём к построению прямой В.М.Попова. Так как нет ограничений на величину θ, то эту прямую можно провести через точку x= под любым наклоном. Возможны два варианта.

Первый. Через точку возможно провести прямую В.М.Попова таким образом, чтобы кривая T(ω) была расположена целиком справа от этой прямой (так как на прямой не указывается направление ориентации, то уточним, что выражением «справа от прямой» подразумевают полуплоскость, содержащую начало координат)

Второй. Через точку невозможно провести прямую В.М.Попова. Любая прямая, проведённая через точку x= пересекает кривую T(ω), или кривая T(ω) находится слева от прямой.

Если имеет место первый вариант, значит для всех точек кривой T(ω) выполняется неравенство В.М.Попова для значения параметра θ, определяемого наклоном прямой.

Если имеет место второй вариант, то неравенство В.М.Попова не может быть удовлетворено при любом значении параметра θ.

Из приведённых рассуждений следует вывод.

Чтобы проверить выполняется или нет неравенство В.М.Попова для данной частотной передаточной функции W(j ω) надо построить график T(ω) по соотношению (25), затем проверить возможно или нет провести через точку прямую В.М.Попова таким образом, чтобы T(ω) была расположена справа от этой прямой.

Геометрическое решение на комплексной плоскости неравенства В.М.Попова.

Выше все построения проводились на действительной плоскости XY, удобнее работать с комплексной плоскостью «W», на которой строится кривая Найквиста.

С этой целью по заданной функции W(j ω) рассмотрим функцию W*(jω), определяемую соотношением:

W*(j ω) = U(ω) + j ωV(ω) (28)

Функцию W*(j ω) назовём модифицированной частотной характеристикой. Действительная часть W*(jω) совпадает с действительной частью W(j ω), а мнимая часть W*(jω) получается посредством умножения на ω мнимой части W(jω).

Будем изменять переменную ω от нуля до бесконечности и построим график W*(jω) на комплексной плоскости. Сопоставляя выражение (28) и (25) убеждаемся, что модифицированная частотная характеристика полностью совпадает с кривой T(ω).

Сформулируем правило применения критерия В.М.Попова для исследования абсолютной устойчивости.

1) Устанавливаем, что нелинейный блок характеризуется классом S(μ₀). Исследуем устойчивость ЛСС и предельную устойчивость. Определяем число μ₀. Если линейный блок содержит два интегратора, то проверяем выполнение условия (20). Строим модифицированную частотную характеристику W*(jω). Проверяем, можно ли через точку провести прямую В.М.Попова так, чтобы модифицированная частотная характеристика была целиком расположена справа от прямой В.М.Попова (т.е. в полуплоскости, содержащей начало координат). Если прямую В.М.Попова указанным образом провести возможно, то положение равновесия абсолютно устойчиво, если нет – то возможны два варианта, т.к. критерий В.М.Попова – только достаточное условие: 1) положение равновесия не является абсолютно устойчивым; 2) положение равновесия является абсолютно устойчивым, хотя критерий В.М.Попова не удовлетворяется. Ситуация поясняется на рисунках 15 (a,b,c)

a) b) c)

Рис. 15

Случай на рисунке 15a. Критерий В.М.Попова удовлетворяется, положение равновесия абсолютно устойчиво.

Случай на рисунке 15b. Провести прямую В.М.Попова через точку невозможно, т.к. она всегда пересечет W*(jω). Критерий В.М.Попова не выполняется, но вопрос об абсолютной устойчивости положения равновесия остаётся открытым.

Случай на рисунке 15c. Положение равновесия заведомо неустойчиво, т.к. неустойчива ЛСС.

Сравнение формы кривой Найквиста и модифицированной частотной характеристики.

Запишем соотношения:

W(jω) = U(ω) + jV(ω)

W*(jω) = U(ω) + jωV(ω) (29)

U(-ω) = U(ω)

V(-ω) = -V(ω)

1.Из соотношений (29) следует, что кривая Найквиста и модифицированная частотная характеристика пересекают действительную ось в одних и тех же точках.

2.Если для данного интервала частот кривая Найквиста расположена в нижней (верхней ) полуплоскости, то и модифицированная частотная характеристика также расположена в нижней (верхней) полуплоскости.

3.Если степень знаменателя W(p) больше степени числителя, то кривая Найквиста стремится к началу координат при ω→∞.

Для модифицированной частотной характеристики это свойство имеет место, только если степень знаменателя W(p) выше степени числителя на два и более. Если степень знаменателя W(p) больше степени числителя на единицу, то модифицированная частотная характеристика при ω→∞ будет стремиться не к началу координат, а к некоторой точке на мнимой оси.

4.Если W(p) содержит интегрирующее звено, то кривая Найквиста начинается (ω>0) из бесконечности. Модифицированная частотная характеристика в этом случае начинается из некоторой конечной точки комплексной плоскости.

5.Если W(p) имеет два интегрирующих звена, то W(jω) имеет параболический характер (у неё нет асимптот). Модифицированная частотная характеристика имеет горизонтальную асимптоту.

6.Если W(p) содержит консервативное звено, то кривая Найквиста и модифицированная частотная характеристика имеют разные наклонные асимптоты.

Уточним указанные свойства.

Обозначим:

• Определим предельную точку W*(p) при ω→∞, когда n-m=1. так как мы рассматриваем только большие значения ω, то можно пренебречь всеми степенями, начиная с n-2. Следовательно, можно записать

Следовательно

Если ω→∞ , то

Следовательно, модифицированная частотная характеристика при n-m=1 заканчивается не в начале координат, а на мнимой оси, в точке .

• Вычислим начальную точку(ω=0) модифицированной частотной характеристики в случае, когда W(p) содержит интегрирующее звено.

Так как мы рассматриваем малые значения ω, то можно пренебречь всеми членами в выражении W(p), имеющими степень больше единицы.

При ω→0 можно записать:

(Индексы при коэффициентах опущены)

Пренебрегая , получим

Следовательно,

Таким образом, модифицированная частотная характеристика при ω=0 начинается из точки комплексной плоскости (k(b-a);k).

Два вышеприведённых свойства можно проиллюстрировать на примере передаточной функции

На рисунке 16 сплошной линией показана кривая Найквиста, а сплошной линией модифицированная частотная характеристика.

Рис. 16

• Если W(p) содержит два интегрирующих звена, то при значениях переменной p, близких к нулю, можно приближённо записать

(η>0 и ρ>0)

Следовательно, модифицированная частотная характеристика будет иметь горизонтальную асимптоту - .

• Если W(p) содержит консервативное звено, то в окрестности точки разрыва можно приближённо записать:

Тангенс угла наклона асимптоты кривой Найквиста:

Тангенс угла наклона асимптоты модифицированной частотной характеристики:

Ниже приведены примеры сравнения кривых Найквиста и модифицированных частотных характеристик (показаны пунктиром).

W(p) = Рис. 17.

W(p) = Рис. 18.

Применение критерия В.М.Попова.

Ниже для иллюстрации техники применения критерия В.М.Попова приводится ряд примеров. Прямая В.М.Попова указывается буквой «P».

W(p) = Рис. 19a.	Рис. 19b.
W(p) = Рис. 20.
W(p) = Рис. 21

Сектор устойчивости ЛСС и сектор абсолютной устойчивости.

Сопоставим величину сектора линейной устойчивости L[β₁, β₂] и сектор абсолютной устойчивости S[μ₁, μ₂]. Ясно, что сектор абсолютной устойчивости не может быть шире, чем сектор устойчивости ЛСС, т.е. β₁ ≥ μ₁ а μ₂ ≤ β₂. покажем на примере, что сектор S[μ₁, μ₂] может быть значительно уже, чем сектор L[β₁, β₂].

Рассмотрим следующий пример. Пусть

Очевидно, что знаменатель содержит консервативное звено с p=±1j, (Ω=1). разложим передаточную функцию на простые дроби:

Тангенс угла наклона асимптоты для кривой Найквиста и для модифицированной частотной характеристики совпадает по величине, т.к. Ω=1.

tg=-1/3.

Рис. 22

Как видно из кривой Найквиста предельный коэффициент усиления ЛСС равен трём: L[3]. Прямая В.М.Попова пересекает ось абсцисс в точке -3, поэтому предельная величина μ₀ = 1/3 и, следовательно, сектор абсолютной устойчивости: S[1/3]. Таким образом, сектор устойчивости ЛСС значительно шире сектора абсолютной устойчивости.

Критерий абсолютной устойчивости отрезка покоя нелинейной системы.

Предположим, что нелинейный блок имеет отрезок покоя |x|≤a. Под абсолютной устойчивостью отрезка покоя условимся понимать следующее. При любом сколь угодно большом значении начального условия функция y(t) при t→∞ будет стремиться к некоторой точке отрезка покоя для любой нелинейной характеристики, удовлетворяющей заданным ограничениям.

Рис. 23

Приведем формулировку критерия абсолютной устойчивости для случаев, когда передаточная функция W(p) содержит одно или два интегрирующих звена, остальные ее звенья предполагаются устойчивыми. Случай одного интегрирующего звена является особенно важным.

Одно интегрирующее звено.

Отрезок покоя |x|≤a (см. рис 24) является абсолютно устойчивым, если выполняются следующие условия:

1. Нелинейная функция N(x) однозначная и удовлетворяет условиям, показанным на рисунке 24.

N(x)≡0 , если |x|≤a

Существует такое число |d|<a, что выполняются неравенства:

0<N(x)≤ μ₀(x-d) если x>a

μ₀(x-d)<N(x)<0 если x<-a

существует такое ε>0, что

Рис. 24

2. Пусть коэффициент разложения на простые дроби передаточной функции W(p) при p^-1 (обозначим его ρ) положителен.

3. Выполняется неравенство В.М.Попова

при этом число -1/θ не является корнем передаточной функции W(p).

Выполняется условие:

Заметим, что это условие автоматически выполняется, если кривая N(x) находится на конечном расстоянии от прямой u= .

Условие 1 теоремы упрощается, так как ε становится ненужным, если кривая расположена так, как показано на рисунке 25.

Рис. 25

Два интегрирующих звена.

Отрезок покоя |x|≤a является абсолютно устойчивым, если выполняются следующие условия:

1. Функция N(x) непрерывна и удовлетворяет условиям:

2. При разложении на простые дроби должны быть положительными коэффициенты при p в минус второй и минус первой степени:

W₁(p) содержит все слагаемые разложения на простые дроби, имеющие полюса в левой полуплоскости.

3. Выполняется неравенство:

(56)

4.

Условие расходимости интеграла заведомо выполняется, если кривая N(x) находится на конечном расстоянии от оси абсцисс.

Замечание.

Если сравнить условия устойчивости отрезка покоя и точки покоя, то основным изменением является то, что должно выполняться неравенство (56), а не неравенство В.М.Попова. Величина μ₀ не имеет значения в теореме об устойчивости точки покоя, так как прямая В.М.Попова совпадает с действительной осью.

Круговой критерий абсолютной устойчивости нелинейной системы в общем случае S(μ₁, μ₂) и в базовом случае S(μ₀).

Для применения кругового критерия используется не модифицированная частотная характеристика, а кривая Найквиста. На свойства нелинейной функции N(x) накладываются минимальные ограничения: N(x) может быть гистерезисной функцией, иметь зону нечувствительности и разрывы первого рода. Основное условие – нахождение внутри сектора (см. рис. 11).

Пусть ЛСС устойчива по критерию Найквиста для всех значений коэффициента усиления μ, удовлетворяющих неравенству:

μ₁ < μ < μ₂

Очевидно, что кривая Найквиста не может пересекать отрезок[-μ₁^-1,-μ₂^-1]. Построим на этом отрезке как на диаметре окружность.

Круговой критерий утверждает, что для устойчивости положения равновесия или отрезка покоя (зоны нечувствительности) нелинейной системы достаточно, чтобы кривая Найквиста не пересекала и не касалась построенной окружности.

Обратим внимание, что при стремлении μ₁ к нулю (μ₂ фиксировано),точка -μ₁^-1будет неограниченно перемещаться влево по отрицательной части действительной оси к бесконечности. При этом окружность будет бесконечно увеличиваться и в пределе перейдёт в горизонтальную прямую, параллельную мнимой оси, проходящую через точку μ₂. Поэтому для нелинейности в секторе S(μ₀) круговой критерий имеет следующий вид:

μ₀^-1 + Re(W(j ω))>0 (30)

Неравенство (30) назовем неравенством В.А.Якубовича.

Круговой критерий не требует стационарности блока N, поэтому возможно его применять к линейной нестационарной функции

u = a(t)x (31)

при условии, что функция a(t) не выйдет за границы сектора.

Рис. 26

Обратимся к рисунку 26, где построена кривая Найквиста для некоторой устойчивой передаточной функции W(p). Рассмотрим вопрос об определении границ устойчивости нелинейной системы. Обратим внимание, что, если границы устойчивости линейной системы определяются однозначно, то границы сектора абсолютной устойчивости по круговому критерию определяются неоднозначно. Например, линейная система будет устойчива при μ₁ < μ < μ₂ .

Круговой критерий не удовлетворяется для сектора S(μ₁, μ₂), так как соответствующая окружность Ψ пересекает кривую Найквиста. Для сектора S(μ₃, μ₄) круговой критерий удовлетворяется, окружность Γ не пересекает кривую Найквиста. Но числа μ₃, μ₄ можно выбрать различным образом внутри отрезка [μ₁, μ₂]. В том случае, если нелинейность находится в базовом секторе, максимальное значение, которое мы можем взять, - это μ_F. Обратим внимание, что максимальное значение для сектора линейной системы будет величина μ_N , большая, чем μ_F.

Абсолютная устойчивость нелинейных систем в случае, когда W(p) не является рациональной функцией.

Если математическая модель линейного блока содержит уравнения с запаздывающим аргументом, то передаточная функция W(p) будет включать трансцендентные или иррациональные звенья или и те и другие. В этом случае динамика линейного блока системы может быть описана интегральным уравнением:

Где - весовая функция линейного блока L (обратное преобразование Лапласа от W(p)).

Функция у₀(t) зависит от начальных данных и описывает собственные колебания линейного блока.

Ограничения на свойства линейного блока имеют вид:

Удобнее ограничения сформулировать в следующей форме. Пусть ε – малое положительное число. Все особые точки передаточной функции W(p) находятся в левой полуплоскости на расстоянии больше ε от мнимой оси. Подчеркнем, что в данной задаче кроме полюсов функция W(p) может иметь существенно особые точки и точки ветвления.

Пусть функция N(x) находится в секторе S(μ₀):

N(x) – кусочно-непрерывная функция.

Теорема.

При выполнении указанных ограничений для абсолютной устойчивости положения равновесия достаточно, чтобы для некоторого действительного числа θ выполнялось неравенство В.М.Попова:

Существенное ограничение на передаточную функцию состоит в том, что W(p) не может иметь полюсов на мнимой оси. Однако, во многих важных случаях его можно преодолеть. Предположим, что W(p) имеет полюса на мнимой оси. Практический интерес представляют случаи, когда W(p) включает: интегрирующее звено, два интегрирующих звена, консервативное звено, консервативное и интегрирующее звенья. Предположим, что для некоторого положительного числа λ передаточная функция:

Удовлетворяет вышеуказанным ограничениям. То есть в W_п(p) под влиянием величины λ расположенные на мнимой оси полюса W(p) сдвинулись с мнимой оси в левую полуплоскость. Подчеркнем, что существенно особые точки и точки ветвления не изменят своего положения.

Если нелинейная функция N(x) находится в секторе , то посредством эквивалентного преобразования можно перейти к задаче в секторе S(μ₀), где линейный блок имеет передаточную функцию W_п(p).

Обзор основных результатов.

Ключевую роль в решении задачи абсолютной устойчивости имеют два основных неравенства. Неравенство В.М.Попова и неравенство В.А.Якубовича.

Выполнение неравенства В.А.Якубовича является достаточным условием устойчивости для очень широкого класса нелинейностей в базовом секторе. В частности нелинейность N(x) может быть гистерезисная и может быть нестационарная. Кроме того она может иметь разрывы первого рода.

Доказывается, что при выполнении неравенства В.А.Якубовича система имеет большие возможности при отработке внешнего воздействия.

В частности, если система подвержена периодическому или почти периодическому внешнему воздействию, то у системы существует периодический или почти периодический или просто ограниченный предельный режим (т.е. при t→∞).

Выполнение неравенства В.М.Попова гарантирует достаточные условия для более узкого класса элементов, которые были описаны выше. В частности, если нелинейность гистерезисная, то необходимо потребовать монотонные изменения функции и обход петли гистерезиса в определенном направлении.

Что касается внешнего воздействия, то в случае почти периодического внешнего воздействия система может не иметь единственного предельного режима, хотя изменение выходной координаты всегда остается ограниченным.

Заключение.

В параграфе мы рассматривали только достаточное условие абсолютной устойчивости. Разумеется, для теории управления было бы исключительно важно располагать необходимыми и достаточными условиями абсолютной устойчивости столь же простыми и наглядными, как критерий В.М.Попова. Таким образом, было бы получено полное обобщение критерия Найквиста для нелинейных систем. Однако, задача получения необходимых и достаточных условий оказалась исключительно трудна. И в настоящее время, несмотря на то, что прошло уже почти пол века с момента появления основополагающей работы В.М.Попова и в этой области работало большое число математиков, главным образом в СССР и США, такие условия получены только в некоторых частных случаев, например, для систем второго порядка.