3. Рассмотрим типы фазовых траекторий для линейного уравнения второго порядка.

(13)

Уравнению (13) соответствует система двух уравнений:

(14)

Система (14), очевидно, имеет единственную особую точку (точку покоя) – (0,0). Устойчивость этой особой точки целиком определяется корнями характеристического уравнения. От корней характеристического уравнения системы (14) зависит форма фазовых траекторий. Особой точке в зависимости от корней характеристического уравнения присваивается имя собственное:

1. два действительных отрицательных корня – устойчивый узел.

2. два действительных положительных корня – неустойчивый узел.

3. два комплексных корня в левой полуплоскости – устойчивый фокус.

4. два комплексных корня в правой полуплоскости – неустойчивый фокус.

5. два мнимых корня – центр.

6. два действительных корня. Один - положительный, другой – отрицательный – седло.

На фазовой плоскости время может откладываться только параметрическими траекториями.

От системы (14) можно перейти к уравнению фазовых траекторий. Для этого разделим первое уравнение на второе. Получаем:

(15)

Отметим, что из соотношения (15) следует одно важное геометрическое свойство фазовых траекторий: они могут пересекать ось абсцисс только под прямым углом (то есть касательная к траектории должна быть перпендикулярна оси абсцисс). Это следует из того, что при значении у = 0 соотношение (15) обращается в бесконечность. Приведенное геометрическое свойство будет справедливо и для нелинейного уравнения.

Интегрируя уравнение (15) можно найти выражение для фазовой траектории. Однако, нам удобнее рассмотреть траектории в параметрической форме.

Устойчивый узел.

Решение уравнения имеет вид:

(16)

Прежде чем рисовать траектории на фазовой плоскости, отметим одно обстоятельство.

Произвольная функция, состоящая из суммы двух экспонент

(17)

не может обратиться в нуль более одного раза (может не обратиться ни разу!).

Действительно

(18)

Экспонента вообще не может обратиться в нуль, а функция внутри скобок может обратиться в нуль только для одного значения t.

Возвратимся к построению фазовых траекторий для устойчивого узла.

Рассмотрим траектории на фазовой плоскости. Ели одна из постоянных интегрирования обращается в нуль, то соответствующие фазовые траектории расположены на прямых:

(19)

(см. рис. 5а)

Следовательно, фазовые траектории , расположены на полупрямых L₁ и L*₁ и на L₂ и L*₂.

В общем случае при любых начальных условиях функции х(t) и у(t) стремятся к нулю при t→∞. Изображающая точка может неограниченно приближаться к началу координат только во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости.

Для качественного построения фазового портрета мы используем указанные выше факты, условие, что на пути к началу координат фазовая траектория может только один раз пересечь ось ординат (у =0) и ось абсцисс (х = 0), условие, что фазовые траектории не могут пересекаться.

Обратимся к рисунку 5а. Если изображающая точка находится в области Н₁ или Н*₁ , то она будет двигаться к началу координат только внутри своей области. Та же самая ситуация будет иметь место, если изображающая точка будет находиться в области Н₄ и Н*₄. Если изображающая точка находится в области Н₂ или Н*₂, то возможны два варианта в зависимости от начальных условий (ограничимся рассмотрением области Н₂):

1. изображающая точка пересекает ось ординат, переходит в область Н₃, затем пересекает ось абсцисс и переходит в область Н₄, где движется к началу координат;

2. изображающая точка движется к началу координат в исходной области Н₂;

В том случае, когда изображающая точка находится в области Н₃, то она заведомо пересекает ось абсцисс и движется к началу координат в области Н₄.

Аналогичная ситуация имеет место для областей Н*₃ и Н*₄.

Фазовый портрет для особой точки устойчивый узел показан на рисунке 5b.

Рис. 5а

Неустойчивый узел.

Решение имеет вид:

(20)

В этом случае функции х(t) и y(t) уходят в бесконечность при любых начальных условиях. Рассуждая аналогично предыдущему, получаем фазовый портрет, показанный на рисунке 6.

Рис. 5b

Рис. 6

Устойчивый и неустойчивый фокус.

В этом случае решение имеет вид функции, которая была рассмотрена выше в пункте 1 пример 5.

Фазовые траектории являются спиралями, соответственно скручивающимися в случае устойчивого фокуса и раскручивающимися в случае неустойчивого фокуса.

Фазовый портрет, соответствующий особой точке устойчивый фокус приведен на рисунке 3, а фазовый портрет, соответствующий особой точке неустойчивый фокус приведен на рисунке 4.

Центр.

Решение соответствует функции, рассмотренной в пункте 1 пример 4.

Фазовые траектории являются эллипсами и показаны на рисунке 2.

Фазовый портрет, соответствующий особой точке центр, представляет собой бесконечное семейство вложенных друг в друга замкнутых кривых – эллипсов с центром в начале координат, как показано на рисунке 7.

Рис. 7

Фазовый портрет для особой точки типа центр представляет собой простейший пример бесконечного семейства консервативных движений.

Седло.

В этом случае решение имеет вид:

(21)

Если одна из постоянных интегрирования равна нулю, то мы получаем на фазовой плоскости прямые, как видно из уравнения:

(22)

При х→∞ в функциях х(t) и y(t) слагаемое, содержащее экспоненту с отрицательным показателем, стремится к нулю. Фазовый портрет для особой точки типа центр имеет вид, показанный на рисунке 8.

Рис. 8