1.Гармонический коэффициент линеаризации нелинейного элемента.

Предположим, что на вход нелинейного элемента поступает гармонический сигнал.

(7)

Разлагаем сигнал u(t) в ряд Фурье, и отбрасываем все слагаемые, содержащие аргументом Ωk, где k>1, т.е. все гармоники выше первой.

Записываем коэффициенты первой гармоники разложения в ряд Фурье:

(8)

Учитывая (7) и (8), сигнал на выходе нелинейного элемента можно записать

(9)

Обозначим

(10)

«Штрих» в обозначении q(A) – не знак производной. (Просьба не путать!)

Функции q(A) и q’(A) называют гармоническими коэффициентами усиления N(x).

Функцию

(11)

называют гармонически линеаризованной передаточной функцией нелинейного элемента

Функцию

(12)

называют амплитудно-фазовой характеристикой.

Выше мы использовали обозначения и терминологию Е.П.Попова, распространенную в учебной литературе по теории управления.

Отметим, что на наш взгляд гармоническим коэффициентом усиления N(x) целесообразно было бы назвать функцию .

В основополагающей работе [x] Гольдфарб использовал терминологию из теории переменных токов: адмитанц (комплексное сопротивление) и импеданц (комплексная проводимость).

Согласно методу «мнимых амплитуд» в теории переменных токов входной сигнал можно записать в форме:

(13)

А выходной сигнал соответственно:

(14)

Соотношении между входом и выходом, равное

(15)

Гольдфарб называл адмитанцем нелинейного элемента, обратную ему величину – импеданцем. Очевидно, что адмитанц равен .

Впоследствии Л.С.Гольдфарб стал использовать для название комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента.

В данной работе мы условимся называть гармоническим коэффициентом усиления. Условимся использовать обозначение:

(16)

Некоторые важные свойства гармонического коэффициента усиления.

1. Если нелинейная функция N(x) однозначна, то коэффициент D₁=0. Коэффициент D₁ ≠0 только если N(x) имеет петлю гистерезиса. Дело в том, что D₁ , как будет показано ниже, равен площади этой петли гистерезиса, умноженной на константу. Докажем этот факт.

(17)

(18)

Пусть график N(x) имеет вид:

Рис. 6

Площадь петли

При возрастании х ( ) N(x)=N₁(x), т.е. движение осуществляется по линии ξθαβ.

При убывании х ( ) N(x)=N₂(x), т.е. движение осуществляется по линии βδεξ.

Переменная х изменяется в интервале (-А;А).

Площадь петли

(19)

(20)

(21)

(22)

Переменная х изменяется по синусоидальному закону, как показано на рисунке

Рис. 7

Вычисление интеграла от нуля до двух пи для вычисления коэффициента можно записать

(23)

Учитывая, что (23)

(24)

Таким образом, если функция N(x) однозначна, и , следовательно, площадь петли величина S равна нулю, то коэффициент D₁ также равен нулю.

2. Если функция N(x) однозначна, то ее гармонический коэффициент усиления является действительнозначной функцией амплитуды (q(A)).

Если функция N(x) однозначна и симметрична относительно начала координат, то разложение Фурье содержит только нечетные значения k (1,3,5…).

Пример вычисления гармонического коэффициента линеаризации.

В большинстве учебных пособий по теории автоматического управления приведены примеры подробного вычисления гармонических коэффициентов линеаризации для некоторых типовых нелинейных элементов.

Достаточно полные таблицы гармонических коэффициентов усиления приведены в приложениях к учебным пособиям и в задачниках по теории регулирования.

Далее мы приведем только один пример вычисления гармонического коэффициента линеаризации для нелинейного элемента нечувствительность и насыщение.

На рисунке 8 показано прохождение гармонического сигнала через указанный нелинейный элемент и нанесены необходимые обозначения. На основе этого рисунка и будем вычислять гармонический коэффициент усиления.

Рис. 8

Учитывая симметрию, показанную на рисунке 8, можно заключить, что интеграл при вычислении q(A) будет одинаковым для каждой четверти периода.

(25)

и так как в интервале 0≤ψ≤ψ₁

N(Asin(φ))=0, то

(26)

Подставляя значение N(Asinφ) и разбивая интегрирование на два участка, получаем:

(27)

Подставляя в полученное выражение и учитывая, что

(28)

Окончательно находим:

(29)