4.6.3. Построение плана скоростей группы (4–5)

Построение плана скоростей группы выполним в соответствии с рекомендациями пунктов 4.5.3 и 4.5.4. Шатун 4 вращательной кинематической парой в точке D присоединен к коромыслу 3. В точке Е он образует с ползуном 5 вращательную кинематическую пару. Ползун 5 этой группы образует с неподвижной направляющей (стойкой) поступательную кинематическую пару. Так как при поступательном движении тела скорости всех точек будут одинаковые, то и вектор скорости точки Е шатуна будет направлен параллельно направляющей.

Таким образом, для шатуна 4 известна скорость точки D по величине и направлению (на плане скоростей этот вектор изображен отрезком Рd) и направление абсолютной скорости точки Е. Согласно рекомендациям, приведенным в п. 4.5.3, векторное уравнение для определения скорости точки Е будет иметь следующий вид:

, (4.41)

где – вектор скорости точки Е во вращательном движении шатуна DЕ вокруг полюса D.

При любом положении шатуна 4 этот вектор будет всегда направлен перпендикулярно отрезку DЕ.

Графическое решение векторного уравнения (4.41) выполняется в такой последовательности. Из точки d на плане скоростей проводим прямую, перпендикулярную звену DE, которая соответствует линии действия вектора скорости . Из полюса Р плана скоростей проводим прямую, параллельную направляющей ползуна, которая соответствует линии действия вектора скорости . Точка пересечения этих двух прямых определит положение точки е на плане скоростей. Длина отрезка de на плане скоростей соответствует вектору скорости , а длина отрезка Pe на плане скоростей соответствует вектору .

Модули искомых скоростей определим по формулам

= 70,05 = 0,35 м/с;

= 180,05 = 0,9 м/с .

Положение точки s₄ на отрезке плана скоростей определим по теореме подобия (см. п. 4.5.4)

Соединив точку s₄ с полюсом Р, получим направление и величину вектора скорости центра масс звена 4. Модуль скорости будут равен

= 200,05 = 1 м/с.

Угловая скорость звена 4 определяется по зависимости

= 0,35 / 0,23 = 1,52 с^-1.

Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором по правилам, изложенным в п. 4.5.1.

4.6.4. Построение плана ускорений механизма

план ускорений кривошипа. В соответствии с методикой п. 4.4, составим уравнения связи между ускорениями точек О и А кривошипа, приняв точку О за полюс вращения звена в относительном движении.

. (4.42)

По заданной угловой скорости ₁ и угловому ускорению ₁ кривошипа и его длине l_OA определим численное значение векторов, входящих в уравнение (4.42), по формулам

; . (4.43)

Обратите внимание, что если ₁ = const, то ₁ = 0 и, следовательно, а^_АО = 0. Это условие использовано в рассматриваемом примере (₁=22,3 с^–1 = const), а также в задании на курсовой проект. Тогда для определения ускорения точки А необходимо определить нормальное ускорение точки А во вращении вокруг точки О. Вычислим его значение

= 22,3²  0,08 = 39,8 м/с².

Решение векторного уравнения (4.42) представим в графическом виде, т.е. в виде плана ускорений.

Планом ускорений называют чертеж, на котором в масштабе изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма в данный момент. План ускорений для механизма является совокупностью планов ускорений для отдельных звеньев, построенных из общей точки  (пи) – полюса плана ускорений. На планах ускорений начало и конец каждого вектора обозначается прописной буквой, соответствующей заглавной букве характерной точки звена механизма. Отрезки, соединяющие полюс плана ускорений с одной из точек, имеющих буквенное обозначение, определяют абсолютное ускорение этой точки на звене механизма.

Обратите внимание, что абсолютное ускорение полюса плана ускорений равно нулю. Поэтому с полюсом плана ускорений совпадают все неподвижные точки механизма. В нашем примере это точки О и С.

Отрезки, соединяющие отдельные точки, обозначены на плане ускорений буквами, определяют ускорения соответствующих точек механизма в относительном движении.

Нормальное ускорение рассматриваемой точки любого звена всегда направлено к точке, абсолютное ускорение которой известно и которая принята за полюс относительного движения.

Для кривошипа ОА (рис.4.12,а) известно абсолютное ускорение точки О (а_О = 0). Мы определяем ускорение точки А кривошипа во вращательном (относительном) движении вокруг точки О. В этом случае вектор нормального ускорения (аⁿ_AO) направлен параллельно кривошипу ОА в заданном положении механизма. Острие вектора направлено к точке О. Переносим направление этого вектора из плана механизма на план ускорений. Для этого через точку О плана ускорений проведем луч, параллельный кривошипу ОА в заданном его положении. На этом луче от точки О в принятом направлении отложим отрезок (см. рис.4.12,в)

= 39,8 /0,5 =79,6 мм,

где – _а масштаб плана ускорений принимается в соответствии с рекомендациями п. 4.3, в рассматриваемом примере _а = 0,5 .

Так как ₁ = const, то полное ускорение точки А равно нормальному в относительном движении и направлено от точки А к точке О.

последовательность построения плана ускорений шатунно-коромысловой группы (2-3). В точке А к кривошипу ОА шарнирно присоединяется шатун АВ, образующий с коромыслом ВС структурную группу с тремя вращательными кинематическими парами (группа типа ВВВ). для этой группы абсолютные ускорения точек А и С определены и на планах ускорений обозначены отрезками а и с. Определение кинематических параметров внутреннего шарнира В сводится к выполнению рекомендаций п. 4.5.1.

Приняв точку А за полюс относительного движения, составим уравнение связи между ускорениями точек А и В шатуна АВ

. (4.44)

Уравнение связи между ускорениями точек В и С коромысла ВС имеет вид

. (4.45)

В уравнениях (4.44) и (4.45) вектор а_В абсолютного ускорения точки В неизвестен ни по величине, ни по направлению. В относительном движении линии действия векторов а^_ВА и а^_ВС касательных ускорений совпадают с перпендикулярами, восстановленными в точке В к шатуну АВ и коромыслу ВС. Эти вектора неизвестны только по величине.

Вектора аⁿ_BA и аⁿ_BС нормальных ускорений направлены соответственно от точки В к точке А шатуна АВ и к точке С коромысла ВС. Величины нормальных ускорений рассчитываются по формуле (4.5)

= 5,34²  0,21 = 5,99 м/с² ,

= 8²  0,21 = 13,5 м/с².

Из приведенного анализа следует, что в каждом из векторных уравнений (4.44) и (4.45) имеется по три неизвестных параметра. Поэтому в отдельности каждое из этих уравнений не имеет решения (число неизвестных больше числа уравнений). Если же уравнения (4.44) и (4.45) рассматривать как взаимозависимую систему, то искомые параметры могут быть определены графическими методом.

В соответствии с правилами графического сложения векторов перенесём линии действия ускорений и из плана механизма на план ускорений соответственно в точки а и с. На этих прямых отложим отрезки длиной

= 5,99/ 0,5 = 11,98 мм;

= 13,5/ 0,5 = 27 мм.

В точках n₂ и n₃ восстановим перпендикуляры соответственно к шатуну АВ и коромыслу ВС (проведём линии действия касательных ускорений и ). Точка пересечения этих линий определит положение точки в на плане ускорений. Обратите внимание, что в точке в сходятся концы всех неизвестных векторов, входящих в уравнения (4.44) и (4.45). соединим точку в с полюсом плана ускорений. Из плана ускорений определяем:

абсолютное ускорение точки В

= 0,5 40 = 20 м/с²;

касательные ускорения точки В в относительных движениях вокруг точек А шатуна АВ и точки С коромысла ВС

= 0,5  41 = 20,5 м/с²;

= 0,5  31 = 15,5 м/с².

используя уравнения (4.4), определим угловое ускорение шатуна АВ и коромысла ВС в заданном положении механизма

= 20,5/0,21 = 97,6 с^-2;

= 15,5/0,21 = 73,8 с^-2.

Положение точек s₂, s₃ и d на плане ускорений определяется отрезками as₂, cs₃, и cd. Длину этих отрезков удобно определять по теореме подобия (см. п. 5.4.4):

= (4221)/42 = 21 мм;

= 4113/43 = 12,4 мм;

= 4129,5 /43 = 28,1 мм.

Соединив точки s₂, s₃ и d с полюсом плана ускорений, определим величины абсолютных ускорений центров масс звеньев и точки Д коромысла СД.

= 0,5  60 = 30 м/с²;

= 0,5 12,4 = 6,2 м/с²;

=26,3  0,5 = 13,15 м/с².

Последовательность построения плана ускорений структурной группы (4–5). В точке Д к коромыслу СД шарнирно присоединён шатун шатунно-поршневой группы (4–5). Поэтому ускорение точки Д шатуна ДЕ равно ускорению точки Д коромысла ВС. В точке Е шатун ДЕ шарнирно соединяется с ползуном. Ползун совершает возвратно-поступательное движение относительно неподвижной направляющей СЕ (см. рис. 4.13,а). При поступательном движении скорости и ускорения всех точек ползуна, в том числе и точки Е, равны по величине и направлены параллельно направляющей СЕ. В соответствии с методикой п. 4.5.3 составим уравнение связи между ускорениями точек Д и Е шатуна ДЕ, приняв точку Д за полюс относительного движения,

. (4.46)

проанализируем векторное уравнение (4.46). вектор a_е абсолютного ускорения точки Е направлен параллельно неподвижной направляющей СЕ. так как все неподвижные точки механизма на плане ускорений совпадают с полюсом, то линия действия этого вектора проходит через точку П. Величина этого вектора неизвестна.

Абсолютное ускорение точки Д известно по величине и направлению. Положение точки  на плане ускорений определено.

Вектор нормального ускорения точки Е во вращении относительно точки Д направлен параллельно шатуну ДЕ. Острие этого вектора направлено к точке Д. модуль вектора определяется по формуле (4.5)

= 1,52²  0,23 = 0,53 м/с².

На плане ускорений этот вектор изображается отрезком, размерами которого можно пренебречь,

мм  0.

Поэтому на плане ускорений точки d и n₄ совпали.

Линия действия вектора совпадает с перпендикуляром, восстановленным в точке Е₄ к шатуну ДЕ. Из приведенного анализа следует, что в уравнении (4.46) не известны модули векторов и . Для определения этих величин в точку n₄ плана ускорений перенесём линию действия вектора , а в полюс П перенесём линию действия вектора а_е. точка пересечения этих линий и определит положение точки е на плане ускорений. Обратите внимание, что в точке е сходятся концы всех неизвестных векторов уравнения (4.46).

Из плана ускорений (см. рис. 4.12,в) определяем

= 0,5 34 = 17 м/с²,

= 0,5 15 =7,5 м/с².

по модулю касательного ускорения определяем угловое ускорение шатуна ДЕ

= 7,5 / 0,23 = 32,6 с^-2 .

положение точки S₄ на плане ускорений определим по теореме подобия

= (15 23)/45 = 7,7 мм.

Соединив точку S₄ с полюсом плана ускорений, определим ускорение центра масс шатуна ДЕ

= 0,5  30 =15 м/с².

Аналогичные построения и расчёты выполняются для всех 12 положений механизма. В записке приводятся подробные расчёты для одного положения механизма. Построение планов скоростей и ускорений для остальных положений механизма выполняется на чертёжном листе формата А1. Результаты расчётов представляются в виде таблицы.

В зависимости от типа структурных групп и последовательности их соединения в кинематические цепи по методикам и рекомендациям пунктов 4.3 – 4.5 могут быть построены планы скоростей и ускорений и определены кинематические параметры рычажных механизмов с одним входным звеном.

Для построения планов скоростей и ускорений кривошипно-шатунного механизма (рис.4.1) использована методика и рекомендации пунктов 4.4; 4.5.3 и 4.5.4.

Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенника (рис.4.2) построены в произвольном масштабе по рекомендация пунктов 4.4; 4.5.2 и 4.5.4.

Для образования кулисного механизма с вращающейся кулисой (рис.4.3,а) использованы: кулисно-поршневая группа, состоящая из звеньев (2–3), и шатунно-поршневая группа, состоящая из звеньев (4–5). Кинематический анализ этого механизма выполняется по рекомендациям пунктов 4.4; 4.5.2; 4.5.3 и 4.5.4.

В образовании шестизвенного механизма (рис.4.3,б) использован ползун 2 и качающаяся кулиса 3 и кулисная группа с поступательно движущимися ползунами 4 и 5. Для построения планов скоростей этой группы использована методика и рекомендации пунктов 4.4; 4.5.2; 4.5.4 и 4.5.5.