8 Задача про надійність

8.1 Змістовна постановка задачі

Конструюється електричний прилад, що складається з компонентів (рис. 25) [5].

Рис. 25

Усі компоненти з'єднані послідовно, тому вихід з ладу однієї з них приводить до відмови в роботі всього приладу. Надійність (ймовірність безаварійної роботи) приладу можна підвищити шляхом дублювання кожної компоненти (рис. 26).

Рис. 26

Конструкція приладу допускає використання декількох запасних блоків, тобто та компонента може містити до блоків, з'єднаних паралельно. Відомі ймовірність безаварійної роботи і вартість ої компоненти, що включає в себе паралельно з'єднаних блоків. Визначити кількість блоків у компоненті , , при яких надійність приладу максимальна, а його вартість не перевищує величини .

8.2 Математична модель задачі

Змінні: – кількість паралельно з'єднаних блоків компоненти.

Цільова функція: надійність приладу, що складається з послідовно з'єднаних компонент .

Обмеження: вартість приладу не може перевищувати величину :

.

8.3 Елементи динамічної моделі

Етап. Етапу ставиться у відповідність планування складу компоненти .

Стани. Нехай – сумарна вартість перших компонент. Стан на -ому етапі будемо описувати величиною . Можливі значення цієї величини приведені в табл. 12.

Таблиця 12

	Можливі значення	Коментар
		– мінімальна вартість першої компоненти відповідає випадку, коли ця компонента складається з єдиного блоку (якщо виділити менше ніж , то прилад не буде працювати); максимально можлива вартість першої компоненти – вся сума за винятком (за винятком вартості мінімальної комплектації компонент 2,3, …, )
		– мінімальна вартість перших двох компонент відповідає випадку, коли кожна із цих компонент складається з єдиного блоку; – максимально можлива вартість перших двох компонент; дорівнює всій сумі за винятком – мінімальної вартості компонент 3,…, (вартості мінімальної комплектації компонент із 3-ї по -ту)
…	…	…
		максимально можлива вартість всього приладу

Основне рекурентне співвідношення

Нехай – максимальна величина надійності перших компонент при їх вартості . Будемо казати, що кількість блоків -ї компоненти допустима, якщо їх вартість не більше : .

Якщо – кількість блоків компоненти , то на це грошей витрачено , а на комплектацію компонентів пішло од. вартості. Тоді

(26)

є максимальною ймовірністю безвідмовної роботи, яку можна одержати від розподілу одиниць вартості на комплектацію компонент з номерами від 1 до включно за умови, що в компоненті встановлено блоків. Добуток (26) – це умовно максимальна надійність.

Максимізуючи вираз (26) по допустимих значеннях , одержимо

.