4. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , по формулам:

,

,

,

где ,

,

,

.

Рассчитаем предельные ошибки

,

,

.

Тогда

,

Так как , следовательно, Н₀ отклоняется и принимается гипотеза, параметр а статистически значим.

,

Так как , следовательно, Н₀ отклоняется и принимается гипотеза, параметр b статистически значим.

Так как , следовательно, Н₀ отклоняется и принимается гипотеза, параметр статистически значим.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Рассчитаем доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

5. Тесноту линейной связи оценим коэффициентом корреляции.

Коэффициент линейной корреляции, означает, что связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) прямая достаточно сильная.

Уравнение регрессии объясняет 91,73% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится 8,27% дисперсии.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации.

Это означает, что на 3,6486% отклоняется в среднем рассчитанные значения от фактических значений результатов.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом статистически значимо.

6. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение объема капиталовложений составит: млн. руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: млн. руб.

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз объема выпуска продукции является надежным на 99% и находится в пределах от 55,0561 млн. руб. до 67,1735 млн. руб.

7. Представить графически: фактические и модельные значения у, точки прогноза (рис. 4).

Рис. 4. Фактические и модельные значения у, точки прогноза

8. Построим гиперболическую модель регрессии и оценим ее.

Уравнение гиперболической модели имеет вид:

Произведем линеаризацию модели путем замены переменной:

Тогда уравнение примет вид: — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.8

Найдем параметры a и b.

Уравнение регрессии будет иметь вид: ŷ = 105,42576 – 1569,00771Х.

Перейдем к исходным переменным х и у, получим уравнение гиперболической модели:

Определим индекс корреляции по формуле:

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

№	у	х	Х	уХ	Х2	ŷ		2			( )2
1	69	38	0,02632	1,81579	0,00069	64,13609	4,86391	23,65765	0,07049	9,60000	92,16000
2	52	28	0,03571	1,85714	0,00128	49,38977	2,61023	6,81328	0,05020	-7,40000	54,76000
3	46	27	0,03704	1,70370	0,00137	47,31437	-1,31437	1,72756	0,02857	-13,40000	179,56000
4	63	37	0,02703	1,70270	0,00073	63,02015	-0,02015	0,00041	0,00032	3,60000	12,96000
5	73	46	0,02174	1,58696	0,00047	71,31690	1,68310	2,83282	0,02306	13,60000	184,96000
6	48	27	0,03704	1,77778	0,00137	47,31437	0,68563	0,47009	0,01428	-11,40000	129,96000
7	67	41	0,02439	1,63415	0,00059	67,15728	-0,15728	0,02474	0,00235	7,60000	57,76000
8	62	39	0,02564	1,58974	0,00066	65,19480	-3,19480	10,20673	0,05153	2,60000	6,76000
9	47	28	0,03571	1,67857	0,00128	49,38977	-2,38977	5,71102	0,05085	-12,40000	153,76000
10	67	44	0,02273	1,52273	0,00052	69,76650	-2,76650	7,65351	0,04129	7,60000	57,76000
Сумма	594	355	0,29334	16,86926	0,00896			59,09780	0,33294		930,40000
Ср. знач.	59,40000	35,50000	0,02933	1,68693	0,00090
Квадрат			0,00086

Таблица 1.8

Определим коэффициент детерминации по формуле:

Уравнение регрессии объясняет 93,648% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится 6,352% дисперсии.

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера. Определим F-критерием по формуле:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

Это означает, что на 3,32935% отклоняется в среднем рассчитанные значения от фактических значений результатов.

Построим степенную модель регрессии и оценим ее.

Уравнение степенной модели:

Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид: — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.9.

Найдем параметры a и b.

Получим уравнение регрессии: ŷ = 0,53508 + 0,79970х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^0,53508 · x^0,79970

10^0,53508 = 3,42829. Получим уравнение степенной модели регрессии:

ŷ = 3,42829 · x^0,79970

Определим индекс корреляции:

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

Уравнение регрессии объясняет 92,021% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится 7,979% дисперсии.

№	у	Y	x	X	YX	X2	ŷ		2			( )2
1	69	1,83885	38	1,57978	2,90498	2,49572	62,86713	6,13287	37,61213	0,08888	9,60000	92,16000
2	52	1,71600	28	1,44716	2,48333	2,09427	49,24515	2,75485	7,58918	0,05298	-7,40000	54,76000
3	46	1,66276	27	1,43136	2,38001	2,04880	47,83358	-1,83358	3,36201	0,03986	-13,40000	179,56000
4	63	1,79934	37	1,56820	2,82173	2,45926	61,54059	1,45941	2,12988	0,02317	3,60000	12,96000
5	73	1,86332	46	1,66276	3,09825	2,76476	73,24496	-0,24496	0,06001	0,00336	13,60000	184,96000
6	48	1,68124	27	1,43136	2,40647	2,04880	47,83358	0,16642	0,02770	0,00347	-11,40000	129,96000
7	67	1,82607	41	1,61278	2,94506	2,60107	66,80574	0,19426	0,03774	0,00290	7,60000	57,76000
8	62	1,79239	39	1,59106	2,85181	2,53149	64,18669	-2,18669	4,78162	0,03527	2,60000	6,76000
9	47	1,67210	28	1,44716	2,41979	2,09427	49,24515	-2,24515	5,04071	0,04777	-12,40000	153,76000
10	67	1,82607	44	1,64345	3,00107	2,70094	70,68699	-3,68699	13,59393	0,05503	7,60000	57,76000
Сумма	594,00000	17,67815	355,00000	15,41509	27,31251	23,83937			74,23491	0,35268		930,40000
Ср. знач.	59,40000	1,76782	35,50000	1,54151	2,73125	2,38394
Квадрат				2,37625

Таблица 1.9

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера. Определим F-критерием по формуле:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

Это означает, что на 3,52676% отклоняется в среднем рассчитанные значения от фактических значений результатов.

Построим показательную модель регрессии и оценим ее.

Уравнение показательной модели:

Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид: — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.10.

Найдем параметры a и b.

Получим уравнение регрессии: ŷ = 1,41573 + 0,00992х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^1,41573 · (10^0,00992)^х

Получим уравнение показательной модели регрессии:

ŷ = 26,04551 · 1,02310^х

Определим индекс корреляции:

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

Уравнение регрессии объясняет 89,939% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится 10,061% дисперсии.

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера. Определим F-критерием по формуле:

№	у	Y	x	Yx	x2	ŷ		2			( )2
1	69	1,83885	38	69,87627	1444	62,03117	6,96883	48,56462	0,10100	9,60000	92,16000
2	52	1,71600	28	48,04809	784	49,36643	2,63357	6,93567	0,05065	-7,40000	54,76000
3	46	1,66276	27	44,89446	729	48,25185	-2,25185	5,07081	0,04895	-13,40000	179,56000
4	63	1,79934	37	66,57560	1369	60,63064	2,36936	5,61388	0,03761	3,60000	12,96000
5	73	1,86332	46	85,71285	2116	74,46506	-1,46506	2,14639	0,02007	13,60000	184,96000
6	48	1,68124	27	45,39351	729	48,25185	-0,25185	0,06343	0,00525	-11,40000	129,96000
7	67	1,82607	41	74,86907	1681	66,42987	0,57013	0,32505	0,00851	7,60000	57,76000
8	62	1,79239	39	69,90328	1521	63,46405	-1,46405	2,14344	0,02361	2,60000	6,76000
9	47	1,67210	28	46,81874	784	49,36643	-2,36643	5,60001	0,05035	-12,40000	153,76000
10	67	1,82607	44	80,34729	1936	71,14049	-4,14049	17,14369	0,06180	7,60000	57,76000
Сумма	594	17,67815	355	632,43916	13093			93,60698	0,40779		930,40000
Ср. знач.	59,40000	1,76782	35,50000	63,24392	1309,30000
Квадрат			1260,25000

Таблица 1.10

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

Это означает, что на 4,07792% отклоняется в среднем рассчитанные значения от фактических значений результатов.

Приведем графики построенных уравнений регрессий (рис. 5).

Рис. 5. Графики построенных уравнений регрессий