9. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл.11. 1). Таблица 11.1

	Параметры	Коэффициент детерминации, R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции ρху (rху)	Средняя относительная ошибка, Еотн
Модель
1. Линейная		0,9173	88,7067	0,9577	3,6486
2. Степенная		0,92021	92,26549	0,95928	3,52676
3. Показательная		0,89939	71,51544	0,94836	4,07792
4. Гиперболическая		0,93648	117,94715	0,96772	3,32935

Так как наибольшее значение F-критерия Фишера и коэффициента детерминации R² имеет гиперболическая модель, поэтому ее берем в качестве наилучшей.

Отметим, что степенная функция является адекватной моделью для установления зависимости между объемов выпуска продукции и объемом капиталовложений.

Задача 2а и 2б

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентификацию.

Задачи 2а

Номер уравнения	Переменные
	у1	у2	у3	х1	х2	х3	х4
1	-1	0	b13	a11	a12	0	a14
2	b21	-1	0	a21	a22	0	a24
3	b31	b32	-1	0	0	a33	a34

Решение

Составим структурную модель:

у₁ = b₁₃y₃ + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₄x₄

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₄x₄

y₃ = b₃₁y₁ + b₃₂y₂ + a₃₃x₃ + a₃₄x₄

Модель имеет три эндогенные (у₁, y_3, y₂) и четыре экзогенные (x_1, x_2, x_3, x₄) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (D) условие идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: у₁ и у₃ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₃ (D=1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₂ и x₃, которые отсутствуют в уравнении (табл. 2.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при переменных у₂ и x₃ взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении переменная у₂ присутствует и коэффициент при ней равен -1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения, а переменная x₃ отсутствует. В третьем уравнении переменная присутствуют и коэффициенты при них равны b₃₂ и a₃₃ соответственно.

Таблица 2.1

_{Матрица, состоящая из коэффициентов при переменных у2 и x}3

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Отсутствующие переменные
	у2	х3
2	-1	0
3	b32	a33

Det A = -1*a₃₃ – b₃₂*0 0

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: у₁ и у₂ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₃ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₃ и x₃, которые отсутствуют в уравнении (табл. 2.2).

Таблица 2.2

_{Матрица, состоящая из коэффициентов при переменных у3 и x}3

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Отсутствующие переменные
	у3	х3
1	b13	0
3	-1	a33

Det A = b₁₃*a₃₃ – (-1*0) 0

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2. Значит, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: у_1, у₂ и у₃ (Н = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные: х₁ и x₂ (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х₁ и x₂, которые отсутствуют в уравнении (табл. 2.3).

Таблица 2.3

_{Матрица, состоящая из коэффициентов при переменных х1 и x}2

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Отсутствующие переменные
	х1	х2
1	a11	a12
2	a21	а22

Det A = a₁₁*a₂₂ – a₂₁* a₁₂ 0

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Вывод: исследуемая система идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

Задачи 2б

Номер уравнения	Переменные
	у1	у2	у3	х1	х2	х3	х4
1	-1	b12	b13	a11	0	0	a14
2	b21	-1	0	0	a22	a23	a24
3	b31	b32	-1	a31	0	0	a34

Решение

Составим структурную модель:

у₁ = b₁₂y₂ + b₁₃y₃ + a₁₁x₁ + a₁₄x₄

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + a₂₄x₄

y₃ = b₃₁y₁ + b₃₂y₂ + a₃₁x₁ + a₃₄x₄

Модель имеет три эндогенные (у₁, y_3, y₂) и четыре экзогенные (x_1, x_2, x_3, x₄) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (D) условие идентификации.

В первом уравнении три эндогенные переменные: у_1, у₂ и у₃ (Н = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные: х₂ и x₃ (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х₂ и x₃, которые отсутствуют в уравнении (табл. 2.4).

Таблица 2.4