18) Поверхности вращения. Тор, сфера, эллипсоид вращения. Цилиндр, конус.

Поверхность вращения - поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой произвольной линии.

Тор- поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Сфера - замкнутая поверхность, тело вращения, образованное при вращении полуокружности вокруг своего диаметра.

Элипсоид вращения - тело вращения, образованная при вращении эллипса вокруг одного из его главных осей.

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими его.

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и проходящих через плоскую поверхность.

19) Аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения по осям. Изометрия, диметрия, триметрия. Прямоугольная изометрия.

Аксонометрическая проекция – наглядное изображение предмета, полученного путем параллельного проецирования предмета вместе с прямоугольной системой координат на одну единственную плоскость.

Коэффициент искажения есть отношение длины проекции отрезка к его истинной длине.

Отношения называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

Очевидно, принимая различное взаимное расположение натуральной (декартовой) системы координат и аксонометрической плоскости π₀ и задавая разные направления проецирования S, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициентов искажений вдоль этих осей.

Справедливость этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке.

Теорема Польке. Три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проецирования π₀, то такие проекции называются прямоугольными аксонометрическими.

Если коэффициенты искажений равны по всем аксонометрическим осям (к_х=к_у=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется изометрией.

Если коэффициенты искажений одинаковы для каких-либо двух осей (например, к_х=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется диметрией.

Если коэффициенты искажений различны для всех осей (к_х≠к_у≠к_z), то такая аксонометрическая проекция называется триметрией.

Независимо от вида для прямоугольных аксонометрических проекций между коэффициентами искажений существует следующая зависимость:

к_х²+к_у²+к_z²=2

Для изометрической проекции все коэффициенты искажений по аксонометрическим осям равны между собой, т.е. к_х=к_у=к_z=к. Так как для прямоугольной аксонометрии

к_х²+к_у²+к_z²=2 то получаем: 3к²=2 отсюда к=0,82. Такие коэффициенты искажений по соям называются натуральными.

Д ля изометрии углы между осями одинаковы и равны 120^◦, обычно ось z принимают вертикальной (рис.7.2).