20) Аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения по осям. Прямоугольная диметрия.

Аксонометрическая проекция – наглядное изображение предмета, полученного путем параллельного проецирования предмета вместе с прямоугольной системой координат на одну единственную плоскость.

Коэффициент искажения есть отношение длины проекции отрезка к его истинной длине.

Отношения называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

Очевидно, принимая различное взаимное расположение натуральной (декартовой) системы координат и аксонометрической плоскости π₀ и задавая разные направления проецирования S, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициентов искажений вдоль этих осей.

Справедливость этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке.

Теорема Польке. Три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проецирования π₀, то такие проекции называются прямоугольными аксонометрическими.

Если коэффициенты искажений равны по всем аксонометрическим осям (к_х=к_у=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется изометрией.

Если коэффициенты искажений одинаковы для каких-либо двух осей (например, к_х=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется диметрией.

Если коэффициенты искажений различны для всех осей (к_х≠к_у≠к_z), то такая аксонометрическая проекция называется триметрией.

Для диметрических проекций к_х=к_z=к. Если взять к_у=0,5к, то получим

к²+ к²+0,25к²=2

отсюда к=0,94.

Тогда к_х=к_z=0,94, к_у=0,47.

Следовательно, в прямоугольной диметрической проекции по двум осям (Х₀ и Z₀) получается сокращение линейных размеров до 0,47ℓ от фактического (ℓ). Такие коэффициенты искажений называются натуральными.

Приближенно диметрические оси можно построить, если принять

tg7^◦10≈1/8, tg41^◦25'=7/8

Указанными выше коэффициентами искажений и диметрическими осями пользоваться неудобно. Поэтому на практике разрешается пользоваться приведенными коэффициентами искажений по осям (к_х=к_z=1, к_у=0,5).