Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

8. определенный интеграл S^b_a f(x)dx; a,b- пределы итегрирования. Если f(x)>0 то определенный интеграл будет частично равен площади правильной трапеции

Свойства

1. S_a^b f(x)dx=-S_a^b f(x)dx

2. S_a^a f(x)dx=0

3. S_a^b f(x)dx=S_a^b f(x)dx+ S_a^b f(x)dx a<<<b

4. S_a^b kf(x)dx=kS_a^b kf(x)dx

5. S_a^b f(x)±g(x)dx= S_a^b f(x)dx± S_a^b g(x)dx

9.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

замена переменной

_aS^bx(x²+1)⁴dx= x²+1=t

d(x²+1)=dt =₂S⁵xt⁴dt / 2x=1/2 ₂S⁵ t⁴dt-1/2*t⁵/5 ₂/⁵=1/2*25²/5-16/5=625/5-16/5=…

dx=dt/2x

X	1	2
T	2	5

Вопрос №10

1. Вычисление площадей плоских фигур.

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции  ,  , отрезком   оси абсцисс и отрезками прямых  ,    , вычисляется по формуле .  Если функция   конечное раз меняет знак на отрезке  , то интеграл по всему отрезку   на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где  , и отрицателен там, где  . Интеграл по всему отрезку   даст разность площадей, лежащих выше и ниже оси. Для того, чтобы получить сумму площадей, необходимо найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл:   Пример 10.1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой  , осью   и прямыми  . 2. Вычисление длин дуг плоских кривых.  Пусть дана плоская кривая   (рис. 10.1), уравнение которой  ,  , где   — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке  . Разобьем отрезок  точками  , на   частей равной длины. Через точки деления   проведем прямые, параллельные оси ординат  . Точки пересечения этих прямых с кривой   обозначим через  . Соединив эти точки хордами, получим ломаную  ,вписанную в кривую  . Пусть периметр этой ломаной равен  . Длиной дуги   будем называть число  , равное пределу последовательности периметров  : Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной  . Точка   с координатами   и   и точка   с координатами  и   являются концами  го звена ломаной. Длину  го звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости: . (10.3) Учитывая, что   – непрерывная дифференцируемая функция на отрезке  , по формуле Лагранжа имеем , (10.4) где   — некоторая точка интервала  . Подставив выражение (10.4) в формулу (10.3), получим: , (10.5) где  . Значит, периметр ломаной   равен следующей с умме: . Получили интегральную сумму для непрерывной функции   на отрезке  . Так как предел этой суммы при n → ∞ существует, то согласно определению находим  . Таким образом,  3. Вычисление объемов тел вращения.  Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси   криволинейной трапеции  ,ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции  ,  , осью абсцисс и отрезками прямых   (рис. 10.2).  Разобьем отрезок   точками  на   частей равной длины. На каждом из отрезков  , выберем некоторую точку   и составим интегральную сумму: , (10.6) где  . Каждый член полученной суммы равен объему кругового цилиндра, а вся сумма равна объему соответствующего ступенчатого тела. Для непрерывной функции  , предел интегральных сумм (10.6) при n→∞ существует и равен объему Vрассматриваемого тела вращения: . 4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения.  Найдем площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой АВ вокруг оси абсцисс. Пусть функция  , непрерывно дифференцируема на отрезке  . Через точки   проведем прямые, параллельные оси ординат  , а их точки пересечения с кривой   обозначим через  . Соединив эти точки хордами, получим ломаную  . При ее вращении вокруг оси абсцисс получается поверхность, которая состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образованных вращением звеньев ломаной  . Пусть площадь этой поверхности равна  . Площадью поверхности тела вращения будем называть число  , равное пределу последовательности площадей  : . Площадь поверхности, описанной ломаной   выразится следующим образом: , (10.7) где мы воспользовались формулой (10.5). Сумма (10.7) не является интегральной суммой для функции , (10.8) так как в слагаемом, соответствующем отрезку  , фигурируют несколько точек этого отрезка, а именно  ,  ,  . Однако можно доказать, что предел суммы (10.7) равен пределу интегральной суммы для функции (10.8), т. е. Таким образом, .

Вопрос №11

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить впредельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что рядсходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Определение

Пусть   — последовательность чисел. Число  называется  -ой частичной суммой ряда  .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм  , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число  , то в этом случае пишут  .

Условия существования суммы ряда. 

Для существования суммы числового ряда необходимо стремление его членов к нулю. Достаточные условия существования суммы ряда более сложны.

Примеры 

, где   — сумма геометрической прогрессии, в частности

.

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов. Признаки сравнения рядов Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:  Если   сходится, то   также сходится;  Если   расходится, то   также расходится. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда   и  , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся; Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ; Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  . Так называемый обобщенный гармонический ряд   сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд  . Решение. Легко видеть, что   для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим        Поскольку ряд   сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится.

Пример 2

Определить, сходится или расходится ряд  . Решение. Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что   для всех натуральных n. Ряд  является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1 и, следовательно, сходится.  Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Пример 3

Исследовать сходимость ряда  . Решение. Можно заметить, что   для всех натуральных n. Тогда        Поскольку   − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.