Линейная зависимость

Если заранее известно, что зависимость между факториальным признаком x и результативным признаком yдолжна быть линейной, выражающейся в виде уравнения типа   , задача сводится к нахождению по некоторой группе точек наилучшей прямой, называемой прямой регрессии. Следует найти такие значения коэффициентов a и b , чтобы сумма квадратов отклонений  была наименьшей:

.

Если через  и  обозначить средние значения признаков X  и Y,то полученная с помощью метода наименьших квадратов функция регрессии удовлетворяет следующим условиям:

• прямая регрессии проходит через точку  ;

• среднее значение отклонений равна нулю:  ;

• значения   и   не связаны:  .

 

Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции

Тесноту линейной зависимости характеризует коэффициент линейной корреляции. Коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:

.                   (12)

Значения коэффициента корреляции находится в пределах от -1 до 1.

Ниже приведена таблица значений коэффициента корреляции и соответствующих им характеристик тесноты связи между переменными.

Значение коэффициента корреляции	Линейная зависимость
-1	функциональная отрицательная
0	не существует
1	функциональная положительная
	слабая
	средней тесноты
	тесная

 

Пример 7. В таблице – данные о валовом внутреннем продукте (ВВП) и частным потреблением (в средних ценах 1995 года), в условных единицах. Найти коэффициент корреляции между этими величинами.

Квартал, год	ВВП	Частное потребление
I, 1995	652,870	357,191
II, 1995	601,893	356,533
III, 1995	590,792	376,951
IV, 1995	593,667	379,866
I, 1996	580,435	385,749
II, 1996	612,063	392,194
III, 1996	620,847	417,342
IV, 1996	614,360	426,991
I, 1997	609,708	394,661
II, 1997	664,246	416,367
III, 1997	682,696	428,103
IV, 1997	680,104	464,410
I, 1998	667,513	412,133
II, 1998	704,317	450,606
III, 1998	698,793	469,775
IV, 1998	668,498	477,421
I, 1999	663,786	415,650
II, 1999	703,213	477,013
III, 1999	707,238	498,525
IV, 1999	694,329	510,171
I, 2000	704,055	447,272
II, 2000	738,637	504,100
III, 2000	753,565	522,277
IV, 2000	754,459	533,585

Решение. Результативным признаком Y является частное потребление, а факториальным признаком X – валовой внутренний продукт.

Для расчёта коэффициента корреляции создадим рабочую таблицу:

	X	Y	XY
I, 1995	562,870	357,191	201052,098	316822,637	127585,410
II, 1995	601,893	356,533	214594,717	362275,183	127115,780
...	...	...	...	...	...
III, 2000	753,565	522,277	393569,668	567860,209	272773,265
IV, 2000	754,459	533,585	402568,006	569208,383	284712,952
Всего	15872,084	10514,886	7015990,600	10569153,153	4670555,076

Используя первоначальные данные и производя расчёты, находим коэффициент корреляции: