Линейные уравнения

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение   называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

[Править]Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция   — интегрирующий множитель, в виде:

Умножим обе части исходного уравнения на  , получим:

Легко заметить, что левая часть является производной функции   по  . Поэтому уравнение можно переписать:

Проинтегрируем:

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

[Править]Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Основная статья: Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Рассмотрим однородное уравнение  . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

,

получаем:

,

где   — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки   в решение однородного уравнения:

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C1 и C2 − произвольные действительные числа.  Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 6y' + 5y = 0. Решение. Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:        Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:        где C1 и C2 − произвольные постоянные.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  y'' − 6y' + 9y = 0. Решение. Вычислим корни характеристического уравнения:        Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой        где C1, C2 − произвольные действительные числа.

16.элементы комбинаторики

комбинаторика-раздел математики который изучает различные комбинации элементов.

1)сочетание

Сочетание из n-различных элементов по к-элементам называются комбинациями состоящими из данных n-элементов которые отличаются друг от друга только элементами(их порядок роли не играет)

_nC^k=n!/k!(n-k)!, где n!=1*2*3…*n пример (a;b;c) ₃C²=3!/2!(3-2)!=1*2*3=6/1*2*1=2=6/2=3

2)размещение

Размещением из n-различных элементов по к-элементам называется комбинацией состоящей из данных n-элементов по к-элементам которые отличаются друг от друга и элементами и их порядком.

_nА^k=n!/(n-k)! пример (a;b;c) ₃А²=3!/(3-2)!=6/1=6

3)перестановки

Перестановками из n-различных элементов называются комбинацией состоящей из данных n-элементов которые получаются друг из друга путем перестановки этих элементов

Р_n=n! пример (a;b;c) P₃=3!=1*2*3=6

17.Предмет теории вероятностей. События

Случайное событие-основное понятие

Случайное событие-событие которое может произойти или не произойти в данный момент времени.

Испытание т.в- опыт; эксперимент; наблюдение.

Событие-исход; результат испытания. Обозначается А;В;С…

Классификация событий:

А)событие называется невозможным если оно никогда не происходит в данном испытании(Достать из мешка с черными шарами белый шар.)

Б)событие называется достоверным если оно всегда происходит в данном испытании(на игральных костях всегда выпадает какое-нибудь число от 1до 6)

В)2 события называются несовместными если они никогда не происходят в одном и том же испытании(орел и решка одновременно никогда не выпадут)

Г)события называются совместными если они могут произойти в одном и том же испытании(на игральных костях должно выпасть четное очко, выпало 4)

Д)2 события А и А с чертой- противоположные если они не совместны и одно из них всегда происходит в испытании(подбрасываем монету выпадет или решка или орел)

Операции над событиями

1)суммы 2 событий А и В = новому событию С, состоящем в том что произойдет хотябы одно из этих событий: А+В=С

Пример по мишени стреляют 2 стрелка А=(1 попал) В=(2 попал) А+В=С=(мишень поражена)

2)произведение 2 событий А и В= новому событию С состоящем в том что в данном испытании происходят оба события

Пример А=(1 попал) В=(2 попал) А*В=С=(попали оба)