Виды асимптот

Определение

Прямая   называется вертикальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   или   .

Замечание. Прямая   не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке   . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая   называется горизонтальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая   называется наклонной асимптотой графика функции  , если

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции   существуют пределы   и  , то функция имеет наклонную асимптоту   при   .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при   .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что  , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая   может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

26. общий план исследования функции с помощью производных функций

1) Отыскивается область определения функции.

Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Особое внимание следует обратить на логарифмы, входящие в выражение. Если функция содержит логарифм          , то на область определения накладываются ограничения исходя из неравенств 

.

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность.Функция           называется чётной, если          . График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью           ищется исходя из уравнения          . Ордината пересечение с осью           ищется подстановкой значения           в выражение функции           Если пересечение с осью           найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью           не представляет труда. 

4) Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва. Функция           называется непрерывной в точке          , если она определена в этой точке и существует предел          , который равен значению функции. То есть 

.

5) Ищутся асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. 

6) Находятся критические точки и интервалы монотонности.

7) Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости.

27. функции нескольких переменных

Опр. Если каждой паре независимых переменных ( х,у) из области их определения соответствует по определенному закону некоторое значение переменной z, то говорят задана функция от 2-х независимых переменных и записывется в виде z=f(x,y), x=F(x,y) примера нет

Переменная величина u называется функцией многих переменных, например, от двух x и y, если каждой рассматриваемой совокупности значений величин и (допустимые значения) соответствует одно определенное значение величины u.

Здесь переменные x и y называются независимыми переменными или аргументами, совокупность рассматриваемых их значений называется областью определения или областью существования функции u.

То есть факт, что u есть функция от x и y обычно записывается так

u = f (x, y.)

28. Частные и полные приращения функции двух переменных

Частные приращения функции 2-х переменных. Разность = f (x+?x, y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x. Разность = f (x, y+?y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФНП

Полным приращением функции двух переменных   в точке   называется выражение  .

Предположим, что в точке   и некоторой ее окрестности функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка   и  . Выразим через них полное приращение  :

 (1) где  заключено между   и  ,   заключено между   и 

Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно    и  , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно  , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

29. Предел и непрерывность функций. Разрывность функции.

Пусть функция z = (х, у) определена в области D плоскости XOY, а т. лежит в области D (см. рис. 11.4).

О: Число А называется пределом функции f(x, у) при стремлении т. М(х, у) к т. если для любого числа >0 найдется такое число >0, что для всех т. М(х, у)  за исключением, быть может, т. справедливо неравенство

Основные теоремы о пределах функции одной переменной (см. разд. 7.5) справедливы и для функций двух и большего числа переменных.

О: Функция z = (х, у) называется непрерывной в т.  если: 1) она определена в т. и ее окрестности,

2)

О: Функция z =f(x, у) называется непрерывной на некотором множестве Е D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

О: Точка называется точкой разрыва функции (М), если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2). Точки разрыва могут быть изолированными, могут образовывать линии разрыва.

Примеры: 1)

Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль у = х — линия разрыва

2)

 т. — точка разрыва

Для функции трех и более переменных определения предела и непрерывности аналогичны.

О: Число А называется пределом функции у = (М) при стремлении т. к т.если  для любого > 0 существует такое > 0, что из условия

следует

30. Частные производные функции.

Рассмотрим функцию двух переменных  .

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например  , положив  . Тогда функция   есть функция одной переменной  .

Пусть она имеет производную в точке  :

.

Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции   по   в точке   и обозначается одним из следующих символов:  ;  ;  ;  .

Разность   называется частным приращением по   функции   в точке   и обозначается символом  :

.

Учитывая приведенные обозначения, можно записать

.

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции   по   и частная производная по   в точке  : _ю,, .

Значение частной производной зависит от точки  , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных  , вообще говоря, есть функция точки  , т.е. также является функцией двух переменных   и  .

Все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функций одной переменной, сохраняются для частных производных функции двух переменных.

Однако следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу второй аргумент считается постоянным.

Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Например, функция   имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

;  ;

;  .

При этом частные производные   и   называются смешанными частными производными.

Обратите внимание на то, что  . Данный результат не случаен, так как имеет место следующая теорема.

Теорема 7.1. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

31. Определение. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Если приращение функции   можно представить в виде

,

где  - бесконечно малые функции при  , соответственно, то выражение   называется полным дифференциалом функции двух переменных.

Теорема. Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных.

.

32.

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!  Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.  Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции  . Решение. Поскольку  , то по правилу производной сложной функции получаем

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции   по времени t,   (в отличие от частной производной,  ) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Пример №1 [править]

Производная неявной функции

Во многих задачах функция  y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.  Алгоритм вычисления производной  y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом: Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции; Решить полученное уравнение относительно производной  y'(x). Пример 1 Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением  . Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:        что приводит к результату

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

что упрощается до

где   — частные производные.

Следует отметить, что обозначение   является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пусть полное приращение функции   функции   можно разложить на сумму двух членов:

,

где коэффициенты A, B и C не зависят от  , а   и имеет высший порядок относительно расстояния  .

Тогда первый член

называется полным дифференциалом функции   и обозначается 

33.